笔记二 函数与导数
易错点7 求函数定义域时忽视细节
典例7 若2x2-6x+y2=0,则x2+2x+y2的最大值是 .
【错因分析】考生在解题过程中,容易忽视x的取值范围,从而出现错误结果. 【正确解答】因为2x2-6x+y2=0,所以y2=6x-2x2,x2+2x+y2=-(x-4)2+16,又因为y2=6x-2x2≥0,所以0≤x≤3,所以当x=3时,所求式子取得最大值15.故填15. 易错点8 判断函数单调性时忽视定义域
典例8 函数y=log1(x2-5x+6)的单调增区间为
2
( )
A. 2,+∞ B.(3,+∞) C. -∞,2
5
5
D.(-∞,2)
2【错因分析】因为函数y=log1u为减函数,故只需找函数u=x2-5x+6的单调递减区间,所以选C.该解法没有考虑到函数的定义域,从而导致函数的单调区间范围扩大.
【正确解答】由定义域为(-∞,2)∪(3,+∞),排除A,C,因为函数y=log1u为减函
2数,故只需找函数u=x2-5x+6的单调递减区间,故函数y=log1(x2-5x+6)的单调递增
2区间为(-∞,2).故选D.
易错点9 判断函数奇偶性时忽视定义域的对称性
典例9 判断函数f(x)=(x-1) 1-??的奇偶性.
【错因分析】因为f(-x)=f(x),所以得出函数f(x)是偶函数,此解法忽视了对函数定义域的讨论.
【正确解答】由1-??≥0,得函数定义域为[-1,1),关于原点不对称,故函数f(x)为非奇非偶函数.
判断函数奇偶性时易忽视定义域的对称性,所以在判定函数奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称,如典例9,另外有些函数还需要根据定义域分类讨论、化简后才能判断. 1+??
1+??
易错点10 错误利用零点存在性定理
典例10 试判断函数f(x)=
??-1 (??<1),在区间(0,2)内是否有零点?
1+ln?? (??≥1)
【错因分析】本题考生易由f(0)=0-1<0,f(2)=1+ln2>0得出函数f(x)在(0,2)内存在零点的错误结果.产生错误的原因是分段函数f(x)在x=1处是“断开”的,其图象在(0,2)内不是连续不断的一条曲线,错误利用了零点存在性定理.
??-1 (??<1)的图象如图所示,由图象知函【正确解答】画出函数f(x)=
1+ln?? (??≥1)数f(x)在(0,2)内不存在零点.
利用零点存在性定理判断函数是否存在零点时,要注意零点存在性定理的使用条件:(1)其图象在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线;(2)满足f(a)·f(b)<0.两者缺一不可,典例10就是忽略了零点存在性定理的使用条件(1). 易错点11 导数的几何意义不明确
典例11 已知函数f(x)=x+??(t>0)和点P(1,0),过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM,PN,切点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).
(1)求证:x1,x2为关于x的方程x2+2tx-t=0的两根; (2)设|MN|=g(t),求函数g(t)的表达式.
【错因分析】本题易出现的错误为:(1)不理解导数的几何意义,致使求错切线方程;(2)利用两点间的距离公式求g(t)时,易在化简和利用(1)中结果整体带入时出错.
【正确解答】(1)∵M,N两点的横坐标分别为x1,x2,f'(x)=1-??2, ??
??
∴切线PM的方程为:y- ??1+?? = 1-??2 (x-x1).
1
1
????
又∵切线PM过点P(1,0),
2
∴0- ??1+?? = 1-??2 (1-x1),即??1+2tx1-t=0.
1
1
????
① ②
2同理,由切线PN也过点(1,0),得??2+2tx2-t=0.
由①②可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的两根. (2)由(1)知x1+x2=-2t,x1x2=-t,
∴g(t)=|MN|= (??1-??2)+ ??1+??-??2-?? =
1
2
2
????
2 [(??1+??2)2-4??1??2] 1+ 1-
????1??2
= 20??2+20??(t>0).
2易错点12 混淆导数与单调性的关系
典例12 已知函数f(x)=3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在R上是增函数,求实数m的取值范围.
【错因分析】研究函数的单调性与其导函数的关系时要注意f'(x)>0(x∈(a,b))是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件,实际上,可导函数f(x)在(a,b)内为单调递增(减)函数的充要条件为:对于任意x∈(a,b),有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒为零,否则极易出错,使得m的取值范围为(2,4).
【正确解答】f'(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,
依题意,知f'(x)在R上恒大于或等于0,所以Δ=4(m2-6m+8)≤0,解得2≤m≤4. 易错点13 导数与极值关系运用不当
典例13 已知函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其中g(x)是R上的奇函数,当x=1时,g(x)取得极值-2.求函数g(x)的单调区间和极大值.
【错因分析】f'(x0)=0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件,即必须有这个条件,但只有这个条件还不够,还要考虑是否满足f'(x)在x0两侧异号.处理好导数与极值的关系是避免错误的关键.
【正确解答】∵g(x)=ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数,
??3
∴对任意x∈R,g(-x)=-g(x),
即a(-x)3+b(-x)2+c(-x)+d=-(ax3+bx2+cx+d),
∴bx2+d=0对任意x∈R都成立,∴b=d=0, ∴g(x)=ax3+cx,g'(x)=3ax2+c. 又当x=1时,g(x)取得极值-2, ??=1,??(1)=??+??=-2,∴ 解得
??=-3.??'(1)=3??+??=0,
∴g(x)=x3-3x,g'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)在区间(-∞,-1],[1,+∞)上是增函数; 当x∈(-1,1)时,g'(x)<0,故g(x)在区间[-1,1]上是减函数.
∴当x=-1时,g(x)取得极大值2. 易错点14 忽视对参数进行讨论
典例14 已知函数f(x)=1-??e-ax. (1)设a>0,讨论y=f(x)的单调性;
(2)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围.
【错因分析】本题考生容易忽视对参数a的讨论.比如该题在(1)中,确定导函
????2+2-??-ax
数f'(x)=(1-??)2e的正负时,关键是要确定ax2+2-a的正负,而2-a的正负不确定就
1+??
无法判定导函数
????2+2-??-ax
f'(x)=(1-??)2e的正负,所以需分
0
????2+2-??-ax
e. (1-??)2【正确解答】(1)函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),导数为f'(x)=
①当0
所以函数f(x)在区间 -∞,-
??-2??
??-2??
??-2??
??-2
- a-2a-2, aa + ↗ a-2,1 (1,+∞) a+ ↗ ,
??-2??
,1 ,(1,+∞)上为增函数,
f(x)在区间 - ,
内为减函数.
(2)参数a的变化范围和(Ⅰ)不同,但由(Ⅰ)知仍分三种情形讨论.
①当0
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