第四章 三角函数与解三角形
一．基础题组
1. 【2016高考上海理数】方程3sinx?1?cos2x在区间?0,2π?上的解为___________ . 【答案】?，5?66
【考点】二倍角公式及三角函数求值
【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等. 2. 【2016高考上海理数】已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________． 【答案】733 【解析】试题分析：
由已知可设a?3,b?5,c?7，∴cosC?a2?b2?c22ab??12， ∴sinC?3c732，∴R?2sinC?3 【考点】正弦、余弦定理
【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答此类试题时，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等. 3. 【2016高考上海理数】设a,b?R,c??0,2π?.若对任意实数都有
2sin???3x?π?3???asin?bx?c?，则满足条件的有序实数组?a,b,c?的组数为 .
【答案】4
【解析】试题分析：
当a?2时，sin(3x?π3)?sin(3x?π3?2π)?sin(3x?5π5π3)，(b,c)?(3,3)，又sin(3x?π3)?sin[π?(3x?π4π4π3)]?sin(?3x?3)，(b,c)?(?3,3)，注意到c?[0,2π)，所
5π4π), (2，?3,)满足题意；当a??2时，同理可得出满足题意的?a,b,c?33π2π也有2组：(?2，?3,), (?2，3,)，故共有4组.
33以只有2组：(2，3,【考点】三角函数
【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到b,c的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 4.【2016高考上海文数】若函数f(x)?4sinx?acosx的最大值为5，则常数a?______. 【答案】?3
【考点】三角函数y?Asin(?x??) 的图象和性质.
【名师点睛】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到y?Asin(?x??)，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等. 5.【2016高考上海文数】设a?R，b?[0,2π].若对任意实数x都有sin(3x-则满足条件的
有序实数对(a,b)的对数为（ ）.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B
π)=sin(ax+b)，3ππ5π5π?2π)?sin(3x?)，(a,b)?(3,)，
3333ππ4π4π又sin(3x?)?sin[π?(3x?)]?sin(?3x?)，(a,b)?(?3,)，
3333【解析】试题分析：sin(3x?)?sin(3x?注意到b?[0,2π)，只有这两组．故选B． 【考点】三角函数
【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到a,b的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.
6. 【2015高考上海理数】已知函数f?x??sinx．若存在x1，x2，???，xm满足
0?x1?x2?????xm?6?，且
f?x1??f?xm的，则??f?x??f?x??????f?2xn???f?xn??12（m?2，m???）2最小值 为 ． 【答案】
【解析】因为f?x??sinx，所以f?xm??f?xn??f(x)max?f(x)min?2，因此要使得满足条件f?x1??f?x2??f?x2??f?x3??????f?xn?1??f?xn??12的m最小，须取 x1?0,x2??2,x3?3?5?7?9?11?,x4?,x5?,x6?,x7?,x8?6?,即m?8. 22222【考点定位】三角函数性质
【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.
7. 【2015高考上海文数】 已知点 A的坐标为(43,1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转
?至3OB，则点B的纵坐标为（ ）.
A.
3353 B. 221113 D. 22C.
【答案】D
【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式. 【名师点睛】设直线OA的倾斜角为
??，，B(m,n)(m?0,n?0)，则kOA?tankOB?tan(??)，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于m、的等式求解结论.数
3学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.
8. 【2014 上海，理1】 函数y?1?2cos(2x)的最小正周期是 . 【答案】
2?? 2【解析】由题意y??cos4x，T?【考点】三角函数的周期.
2??? 429. 【2014上海,文7】 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】arccos1. 3【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意?rl?3?r2，即l?3r，母线与底面夹角为，则cos??r11?为，??arccos. l33【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数. 10. 【2014上海,文12】 方程sinx?于 . 【答案】
3coxs?在1区间[0,2上的所有解的和等?]7? 3
【考点】解三角方程.
11. 【2013上海,理4】已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若3a＋2ab＋3b－3c＝0，则角C的大小是______(结果用反三角函数值表示)． 【答案】π－arccos
2
2
2
2
1 32
2
2
2
2
【解析】3a＋2ab＋3b－3c＝0?c＝a＋b＋
112ab，故cosC＝?，C＝??arccos.
33312，sin2x＋sin2y＝，则sin(x＋y)＝2312. 【2013上海,理11】若cosxcosy＋sinxsiny＝______. 【答案】
2 3122，sin2x＋sin2y＝2sin(x＋y) cos(x－y)＝，故sin(x＋y)＝. 2332
2
2
【解析】cos(x－y)＝
13. 【2013上海,文5】已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a＋ab＋b－c＝0，则角C的大小是______． 【答案】
2? 32
2
2
a2?b2?c2?12??C??. 【解析】a＋ab＋b－c＝0?cosC＝
2ab23
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