5-3-4.分解质因数
教学目标
1. 2.
能够利用短除法分解
整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为△☆?△☆?...?△☆的结构，而且表达形式唯一”
知识点拨
一、质因数与分解质因数
（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.
（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
例如：30?2?3?5.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12?2?2?3?22?3，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法
212例如：26，（┖是短除法的符号） 所以12?2?2?3；
3二、唯一分解定理
a3aka1a2任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n?p1其中为质?p2?p3??pk?ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式. 数，a1?a2?例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.
三、部分特殊数的分解
111?3?37；1001?7?11?13；11111?41?271；10001?73?137；1995?3?5?7?19；1998?2?3?3?3?37；2007?3?3?223；2008?2?2?2?251；10101?3?7?13?37.
例题精讲
模块一、分数的拆分
【例 1】
111＋＋＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。 希望杯【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分
算式“
【解析】
三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大
于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11
【答案】11
【例 2】
1661，则这3个质数之和为多少． 1986【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答
3个质数的倒数之和是
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【解析】 设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为
111、、，计算它们的和时需通分，abc且通分后的分母为a?b?c，求和得到的分数为
F,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为abc1661，分母1986?2?3?331，所以一定是a?2，b?3，c?331，1986检验满足.所以这3个质数的和为2?3?331?336． 【答案】2?3?331?336
a、b、c或它们之间的积.现在和为
【例 3】
一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母
各加一个相同的一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个
7．那么原来分数的分子是多少． 13【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答
新分数，新分数约分后是
4，所以分母是加上9或【解析】 因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于901?13?69者减去4．若是前者则原来分数分子为7?70?9?481，但481?13?37，不是质数；若是后者则原来分数分子是69?7?4?487，而487是质数．所以原来分数分子为487． 【答案】487
??????1的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成
【例 4】 将1到9这9个数字在算式
????????立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?
【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有
bdcb?ad1，即有cb?ad?1，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。符合原式的填法为???aca?ca?c321。 ??7535321【答案】??
7535
111【例 5】 求满足条件??的a、b的值(a、b都是四位数)．
ab1001【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】解答 【解析】
取1001的两个不同约数x、y(x?y)，得到： 1x?yxy11，因为x、y都是1001的约数，?????10011001(x?y)1001(x?y)1001(x?y)1001(x?y)1001(x?y)xy1001（x+y）100110011001（x+y）所以、都是整数．所以只需令a?，b?就可以了．而a、b都要大于
yyxx1001，要保证a、b都是四位数，所以a、b的比值都要小于10，即x、y的比值小于10．而1001的两
（1,7）（7,11）（7,13）（11,13）（11,91）（13,77）个互质且比值小于10的约数有以下几组：、、、、、．所以
我们依次取x、y为上面所列的数对中的数，代入a、b的表达式，得到本题的答案：
?a?8008,2574,2860,2184,9282,6930 ?b?1144,1638,1540,1848,1122,1170??a?8008,2574,2860,2184,9282,6930【答案】?
b?1144,1638,1540,1848,1122,1170?
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【巩固】 【解析】
111??，其中a、b都是四位数，且a 若 2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有： 11211???? 20042004(1?2)2004(1?2)6012300611311???? 20042004(1?3)2004(1?3)8016267212311???? 20042004(2?3)2004(2?3)5010334013411???? 20042004(3?4)2004(3?4)4676350711211????【答案】 20042004(1?2)2004(1?2)6012300611311???? 20042004(1?3)2004(1?3)8016267212311???? 20042004(2?3)2004(2?3)5010334013411???? 20042004(3?4)2004(3?4)46763507 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立． 11111111111?????????（1）?； 102020????????????????（2） 111?? 10????【例 6】 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数m和n，有： 1m?nmn11????， ?NN(m?n)N(m?n)N(m?n)AB从分母n的约数中任意找出两个m和n (m?n)，有： 1m?nmn11????? NN(m?n)N(m?n)N(m?n)AB⑴ 本题10的约数有：1，10，2，5． 11?21211????； 例如：选1和2，有：?1010?(1?2)10?(1?2)10?(1?2)3015 从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m和n，它们的数值虽然不同，但是如果m和n 的比值相同，那么最后得到的A和B也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有2C4?4?10种，但是其中比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下： 11111111111 ?． ?????????10202011110126014351530⑵ 10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5： 15?25211???? ? 1010?(5?2)10?(5?2)10?(5?2)615 另外的解让学生去尝试练习． 11111111111【答案】（1）? ?????????102020111101260143515303 5-3-4.分解质因数.题库 教师版 page of 7 （2） 【例 7】 111?? 10615111??，A，B均为正整数，则B最大是多少？ 2009AB【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】101中学，分班考试 111【解析】 从前面的例题我们知道，要将按照如下规则写成?的形式： NAB1m?nmn11?????，其中m和n都是N的约数。 NN(m?n)N(m?n)N(m?n)AB如果 如果要让B尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n尽可能地小而m尽可能地大，因此应当 m取最大的约数，而n应取最小的约数，因此m?2009，n?1，所以B?2009?2008. 【答案】B?2009?2008 11111111111??????????【巩固】 45????????????????????【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空 11111111111??????????【解析】 45?72??120??18??30??405??135??81??9??15??45?【答案】 11111111111?????????? 45?72??120??18??30??405??135??81??9??15??45?【例 8】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立． 1111111?????? 10????????????【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5?2?1和连加式5?2?1． 1111111?????则：? 10?4??10??20??80??40??16?如果选10、5、2，那么有： 【解析】 1111111??????． 103615173485另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如， 1111111??要得到?，根据前面的拆分随意选取一组，比如??，再选择其中的一个分数 10??????1012601111111进行拆分，比如??，所以??． ?12131561013601561111【答案】?? ?101360156 111【例 9】 已知等式??其中a，b是非零自然数，求a+b的最大值。 15ab【考点】分数的拆分 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第13题 1m?nmn??易知，?，令（m，n）为互质的一对数，现在要让分母为1，【解析】 1515(m?n)15(m?n)15(m?n)只需m，n是15的一对互质的约数即可。 111?当(m，n)=（1，1）时，?，此时，a+b=60； 1530304 5-3-4.分解质因数.题库 教师版 page of 7
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