备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）
专题08平面向量
历年联赛真题汇编
????? |=3，|????????? |=7,|????????? |=11,|????????? |=9，则1．【2005高中数学联赛（第01试）】空间四点A，B，C，D满足|????????? ??????? 的取值( ) ????????A．只有一个 【答案】A
????? 2+????????? 2， 【解析】因为????? ????2+????? ????2=32+112=130=72+92=???????? +????? 得????? ????? +????? 由????? ????+?????????+????? ????=?0????+????? ????=?(????????)， ???? ?????? ????? ?????? ， 两边平方得????? ?????????? ????=?????????，故????? ?????????? ????=?????????
???? ??????? +????? )(????????? +????? ????? +????? +????? ????? +????? ????? =(????于是?????????????????)=(????????????)?????????????? ???? ????? ?????????? +????? ????? =0. =?????????????????? ??????? 只有一个值0， ????????故选A.
????? +3????????? =0，则△ABC的面积与△A2．【2004高中数学联赛（第01试）】设点O在△ABC内部，且有????? ????+2????OC的面积的比为( ) A．2
B．
23
B．有两个 C．有四个 D．有无穷多个
C．3 D． 3
5
【答案】C
【解析】解法一如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则 ????? ?? =2?????????? ????+???????????? +????????? )=4????????? 2(????
①
②
????? +3????????? =2(?????????? +2????????? )=? ， 由式①与②得????? ????+2????0????? 与????? ?????? |=2|????????? |， 即?????????共线，且|????所以
??△????????△??????
=，所以2
3
??△????????△??????
=
3×22
=3.
故选：C.
????? +3????????? =? ， 解法二????? ????+2????0
????? +????? ????? +????? )=2????????? +6????????? +3????????? =? ， 则????? ????+2(????????)+3(????????0????? +6????????? +3????????? )×????????? =0? ， 所以(2????
????? ×????????? |=3|????????? ×????????? |，所以??△??????=??△??????. 则|????
?? =0，熟悉物理的人很容易看出????? ?? 可以看成是3个两两成120°的同引申如果题目条件是????? ????+????? ????+???????????,????? ????,????????? 延长2倍，不就照样可以用这种物理方法解决本道题了吗? 等大小的力.如果我们把????? ????延长1倍，???????????? +4????????? +5?????????? =? ，另外，我们可以将问题推广至三维情形：点O在四面体ABCD内，有????? ????+2????0??????????:??????????=？
实际上，向量前面的系数无关紧要，可以取负数，无理数，并不妨碍此题的简单本质. 解决此类问题，下面的结论是关键：
????? =??????????? +(1???)????????? ，其中??=. 设C是AB上一点，则????????? ????????? ????
3．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在椭圆??中,A为长轴的一个端点,B为短轴的一个端点, ??1,??2为两个焦
|????|
?????? ??????? ??????? ??????? 点.若?????的值为 1?????2+????1?????2=0,则
|??1??2|
√22
.
【答案】 【解析】不妨设??的方程为
??2??
2+
??2??2=1(??>??>0),A(a,0),B(0,b), ??1(???,0), ??2(??,0),其中??=√??2???2.
22222?????? ??????? ??????? ??????? 由条件知?????1?????2+????1?????2=(??????)(???)+(???+??)=??+???2??=0.
所以
|????||??1??2|
=
√??2+??22??
=
√2??22??
=
√22
.
????? =2????????? 点P是四边形ABCD所在平面上一4．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在凸四边形ABCD中, ???????? +2020???????? +2020???? .设s,t分别为四边形ABCD与ΔPAB的面积,则??= ????? +?????? =?点,满足?????????0
??
.
【答案】
337
2021
【解析】不妨假设AD=2,BC=4.记M,N,X,Y分别是AB,CD,BD,AC的中点,则M,X,Y,N顺次共线并且MX=XY=YN=1. ???? +????? =2????????? ,????? +????? ????? , 由于?????????????????=2????
.故点P在线段XY上且????=???? +2020????????? =?故结合条件可知?????0
??△????????????????
1
2021
.设A到MN的距离为h,由面积公式可知=
??
??
=
???????????2?
=
????2????
=
1+
1
20212×3
=
337
2021
.
5．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】平面直角坐标系中，?? 已是单位向量，向量?? 满足?? ??? =2，且|?? |2?5|?? +???? |对任意实数t成立，则|?? |的取值范围是 【答案】[√5,2√5]
【解析】不妨设?? =(1,0).由于?? ??? =2，可设?? =(2,??)， 则对任意实数t，有4+??2=|?? |2?5|?? +???? |=5√(2+??)2+??2， 这等价于4+??2?5|??|，解得|??|∈[1,4]，即??2∈[1,16]. 于是|?? |=√4+??2∈[√5,2√5].
? =(2???1,2??+1)垂直，其中m为实数，6．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】若平面向量?? =(2??,?1)与??则??的模为 【答案】√10
【解析】令2m=t，则t>0.条件等价于???(???1)+(?1)?2??=0，解得t=3. 因此??的模为√32+(?1)2=√10.
????? ，则sin∠BAC的值为 7．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设O为△ABC的外心，若????? ????=????? ????+2???? .
√10 4→→
.
.
【答案】
????? =????? 【解析】不失一般性，设△ABC的外接圆半径R=2.由条件知，2?????????????? ????=????? ???? 故????=????=1.
21
①
取AC的中点M，则OM⊥AC，结合①知OM⊥BO，且B与A位于直线OM的同侧. 于是cos∠??????=cos(90°+∠??????)=?sin∠??????=?
????????
=?.
4
1
在△BOC中，由余弦定理得????=√????2+????2?2??????????cos∠??????=√10， 进而在△ABC中，由正弦定理得sin∠??????=
????2??
=
√10. 4
8．【2015高中数学联赛（第01试）】在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC上(包含点D，C)的动点P与CB
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