考点49离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差
一、选择题
1. （2014·浙江高考理科·Ｔ9）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个篮球
?m?3,n?3?，从乙盒中随机抽取i?i?1,2?个球放入甲盒中.
?i?i?1,2?；p ,2?i?i?1i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为（b）放入 以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为
.则拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友， A.
C.
p1?p2,E??1??E??2?p1?p2,E??1??E??2? B. D.
p1?p2,E??1??E??2?p1?p2,E??1??E??2?
【解题指南】根据概率和数学期望的有关知识，分别计算比较大小.
【解析】选A.随机变量
p1、p2和E(?1)、E(?2)在
?1,?2的分布列如下：
2 ?1 p
1 m m?nm m?n?2 p 1 2Cn 2Cm?n2 11CmCn 2Cm?n3 2Cm 2Cm?n2112n2m2m?nE(?)?Cn?2CmCn?3Cm?3m?nE(?1)???2222CCCm?n m?nm?nm?nm?nm?nm?n所以，
所以
E(?1)＜E(?2)
2112CmCmCn2Cn13m?nmm12m?np2?2?2?2?p1????CC3C33(m?n) m?nm?n22(m?n)，m?nm?nm?n因为
P1?P2?n＞0P＞P6(m?n)， 所以12
二、填空题
2. （2014·上海高考理科·Ｔ13）
1
某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量?表示小白玩该游戏的得分，若E(?)=4.2，则小白得5分的概率至少为_________.【解题提示】根据期望公式结合分布列的性质可得. 【解析】
设?取1,2，3,4,5时，对应概率分别为P1，P2，P3，P4，P5，则有E(?)=P1+2P2+3P3+4P4+5P5?4.2所以4.2-5P5?P1+2P2+3P3+4P4?4P1?4P2?4P3?4P4?4(1?P5)所以P5?0.2.答案：0.23. （2014·浙江高考理科·Ｔ12）随机变量?的取值为0,1,2，若
P???0??15，
E????1，则
D????________.
【解题指南】根据离散型随机变量的均值与方差的性质计算．
11E(?)?0??1?p?2?(1?p?)?1p55【解析】设??1时的概率为，则，解得p?
3
5，故
1312D(?)?(0?1)2??(1?1)2??(2?1)2??5555
2答案：5
三、解答题
4. （2014·湖北高考理科·Ｔ20）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X 40?x?80 80?x?120 x?120 2
发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万，欲使水电站年利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【解题指南】（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；
（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到． 【解析
】（Ⅰ
）依题意，
p1?p(40?X?80)?10?0.250，
p2?p(80?X?120)?355?0.7，p3?p(X?120)??0.1 5050由二项分布，在未来4年中至多有一年的年入流量超过120的概率为
99101p?C4(1?p3)4?C4(1?p3)3p3?()4?4?()3??0.9477
101010（Ⅱ）记水电站年总利润为Y
（1） 安装1台发电机的情形
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y?5000，
E(Y)?1?5000?5000
（2）安装2台发电机的情形
?4200依题意，当40?x?80时，一台发电机运行，此时Y?5000?800，因此
P(Y?4200)?P(40?x?80)?p1?0.2；当X?80时，两台发电机运行，此时
Y?5000?2?10000，因此P(Y?10000)?P(X?80)?p2?p3?0.8；由此得的分布
列如下
Y P 4200 0.2 10000 0.8 所以，E(Y)?4200?0.2?1000?0.8?8840。
（3）安装3台发电机的情形
依题意，当40?x?80时，一台发电机运行，此时Y?5000?1600?3400，因此
P(Y?3400)?P(40?x?80)?p1?0.2；当80?X?120时，两台发电机运行，此时
Y?5000?2?800?9200，因此P(Y?9200)?P(80?X?120)?p2?0.7；当
X?120时，两台发电机运行，此时Y?5000?3?15000，因此
P(Y?15000)?P(X?120)?p3?0.1由此得的分布列如下
Y P
3400 0.2 8200 0.7 15000 0.1 3
所以，E(Y)?3400?0.2?9200?0.7?15000?0.1?8620。 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台。 5. （2014·湖南高考理科·Ｔ17）（本小题满分12分）
某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为
23和．现安排甲35组研发新产品A，乙组研发新产品B．设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
【解题提示】(1)利用独立事件的乘法公式求解;(2)利用分布列、期望的定义求解。 【解析】记E={甲组研发新产品成功}，F={乙组研发新产品成功}。由题设知， （1）P(E)?2132,P(E)?,P(F)?,P(F)?, 3355且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立。 记H={至少有一种新产品研发成功}，则H?EF，于是
122213P(H)?P(E)P(F)???,故所求的概率为P(H)?1?P(H)?1??.
35151515（2）设企业可获利润为X（万元），则X的可能取值为0，100，120，220，
因
122133P(X?0)?P(EF)???,P(X?100)?P(EF)???,
35153515224236P(X?120)?P(EF)???,P(X?220)?P(EF)???,
35153515故所求的分布列为 X P 0 100 120 220 2 153 154 156 15数学期望为
E(X)?0?2346300?480?13202100?100??120??220????140. 1515151515156.(2014·广东高考理科)(13分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:
30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36, 根据上述数据得到样本的频率分布表如下:
4
分组 [25,30] (30,35] (35,40] (40,45] (45,50] 频数 3 5 8 n1 n2 频率 0.12 0.20 0.32 f1 f2 (1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值.
(1)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图.
(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率. 【解题提示】(1)在所给的数据中圈出(40,45],(45,50]的数字可得n1,n2的值,再换算出f1,f2的值.
(2)建立坐标系,用
频率组距计算各组纵坐标的值.
(3)根据“样本频率分布直方图”判断为二项分布型,再用对立事件的概率求解.
【解析】(1)由所给的数据,知在(40,45]的有42,41,44,45,43,43,42,即n1=7;在(45,50]的有49,46,即n2=2,(列出有关数据,直接写出n1=7,n2=2会被扣分)f1=
频率组距72=0.28,f2==0.08. 2525(2)算得各组的的值分别为:
0.120.200.320.280.08=0.024, =0.04, =0.064,=0.065,=0.016,(要具体算出来,否则55555要被扣分)
“样本分布直方图”如图所示;
7.（2014·福建高考理科·Ｔ18）18.（本小题满分13分）
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽
5
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