2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式
P(A?B)?P(A)?P(B)
S?4πR2 如果事件A，B相互独立，那么
其中R表示球的半径 球的体积公式 P(A?B)?P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V?43πR 3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
其中R表示球的半径
一、选择题 (1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A元素共有（A） （A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 解：AB，则集合?u(AIB)中的
B?{3,4,5,7,8,9}，AB?{4,7,9}?CU(AB)?{3,5,8}故选A。也可用摩根
B)?(CUA)(CUB)
律：CU(A（2）已知
Z=2+i,则复数z=（B ） 1＋i（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：z?(1?i)?(2?i)?1?3i,?z?1?3i 故选B。 (3) 不等式
X?1
＜1的解集为（ D ） X?1
（A）｛x0?x?1??xx?1? (B)?x0?x?1? （C）?x?1?x?0? (D)xx?0? 解：验x=-1即可。 ?x2y22
(4)设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心
ab率等于( C ) （A）3 （B）2 （C）5 （D）6 解：设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y'|x?x0?2x0.由题意有
y0?2x0又y0?x02?1 x0解得: x0?1,?2bb?2,e?1?()2?5. aa(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种
112解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有C5?C3?C6?225种选法
211 (2) 乙组中选出一名女生有C5?C6?C2?120种选法.故共有345种选法.选D
（6）设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则
?a?c???b?c?的最小值为 ( D )
（A）?2 （B）2?2 （C）?1 (D)1?2 解: a,b,c是单位向量?a?c?b?c?a?b?(a?b)?c?c?1?|a?b|?|c|?1?2cos?a?b,c??1?2故选D. ????2
C1（7）已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面
A1B1ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值
为（ D ） ACDB（A）3573 （B） （C） (D) 4444解：设BC的中点为D，连结A1D，AD，易知???A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角,由三角余弦定理，易知cos??cos?A1AD?cos?DAB?ADAD3??.故选D A1AAB4（8）如果函数y＝3cos?2x＋??的图像关于点?（A）
?4??，0?中心对称，那么|?|的最小值为?3????? （B） （C） (D) 6432函数y＝3cos?2x＋??的图像关于点?解:
?4??，0?中心对称 ?3??2?4??13?????k?????k??(k?Z)由此易得|?|min?.故选A 3266 (9) 已知直线y=x+1与曲线y?ln(x?a)相切，则α的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点P(x0,y0)，则y0?x0?1,y0?ln(x0?a),又
y'|x?x0?1?1
x0?a?x0?a?1?y0?0,x0??1?a?2.故答案选B （10）已知二面角??l??为60o
，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）
(A) (B)2 (C) 23 (D)4 解:如图分别作QA??于A,AC?l于C,PB??于B,
PD?l于D，连CQ,BD则?ACQ??PBD?60?, AQ?23,BP?3，?AC?PD?2
又
PQ?AQ2?AP2?12?AP2?23 当且仅当AP?0，即点A与点P重合时取最小值。故答案选C。
（11）函数f(x)的定义域为R，若f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，则( D )
(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)?f(x?2) (D) f(x?3)是奇函数 解:
f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，?f(?x?1)??f(x?1),f(?x?1)??f(x?1)，
?函数f(x)关于点(1,0)，及点(?1,0)对称，函数f(x)是周期T?2[1?(?1)]?4的周期
函数.?f(?x?1?4)??f(x?1?4)，f(?x?3)??f(x?3)，即f(x?3)是奇函数。故选D
x2?y2?1的右焦点为F,右准线为l，点A?l，线段AF交C于点B，12.已知椭圆C:2若FA?3FB,则|AF|=( A ) (A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 3 解:过点B作BM?l于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA?3FB,故|BM|?2222?|AF|?2.故选A ??.又由椭圆的第二定义,得|BF|?2333第II卷
二、填空题：
13. ?x?y?的展开式中，xy的系数与xy的系数之和等于 。
7337373解: ?C10?(?C10)??2C10??240
1014. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 。 解:
?an?是等差数列,由S9?72,得?S9?9a5,a5?8
?a2?a4?a9?(a2?a9)?a4?(a5?a6)?a4?3a5?24.
A1BC?2, 15. 直三棱柱ABC?11的各顶点都在同一球面上，若AB?AC?A1A?BAC?120?，则此球的表面积等于 。
解:在?ABC中AB?AC?2,?BAC?120?,可得BC?23,由正弦定理,可得?ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O?，球心为O，在RT?OBO?中，易得球半径R?故此球的表面积为4?R?20?. 16. 若
25，?4?x??2，则函数y?tan2xtanx的最大值为 。
3解:令tanx?t,?43?x??2?t?1,
2tan4x2t4222?y?tan2xtanx???????8
1?tan2x1?t21?1(1?1)2?1?1t4t2t2244三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）
在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a?c?2b，且求b sinAcosC?3cosAsinC ,分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a?c?2b,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)
2222sinAcosC?3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在
已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在?ABC中
sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理
a2?b2?c2b2?c2?a2?3?c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知有:a?2ab2bca2?c2?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍）.
解法二:
由余弦定理得:
a2?c2?b2?2bccosA.
又 a?c?2b,b?0。
所以 b?2ccosA?2…………………………………① 又 sinAcosC?3cosAsinC，
22?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC
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