《信号与系统》讲义教案第4章 离散时间信号与系统的频域分析

1、周期性

若x?n??Xej? 则Xe???j???2????X?e?（4.30）

j?注意:这一点是与连续时间傅立叶变换不同的。 2、 线性

ax1?n??bx2?n??aX1?ej???bX2?ej??（4.31）

3、 时移与频移、 若x?n??Xej? 则x?n?n0??Xej?e?????j?n0（4.32a）

x?n?ej?0n?Xe4、 时间反转、 若x?n??Xej?

则x??n??Xe?j?（4.33） 5、共轭对称性 若x?n??Xe?j????0??（4.32b）

??????

j?则x*?n??X*e?j?（4.34） 由此可进一步得到以下结论:

(1) 若x?n?是实信号,则x?n??x?n?

*??所以 X*?e??X?e?，

?j?j?即X因此：

*?e??X?e?，（4.35）

j??j? （4.36）

(2) 若x?n?是实偶信号,则x?n??x??n?，x*?n??x?n?,x??n??Xej?。 于是有：

??X*?ej???X?e?j???X?ej??（4.37）

即Xej?是实偶函数

(3) 若x?n?是实奇信号,则x?n???x??n?，x*?n??x?n?。 于是有：X*ej??Xe?j???Xej?（4.38） 表明Xej?是虚奇函数。 (4) 若x?n??xe?n??x0?n?,则：

j??,x0?n??jIm?X?ej???。（4.39） xe?n??Re?Xe???????????????? 这些结论与连续时间情况下完全一致。

6、 时域差分与求和

x?n??x?n?1???1?e?j??X?ej??（4.40）

?1j?j0x?k??X?e???X?e??????2?k?（4.41） ??j?1?ek???k???n说明:可以看出离散时间傅立叶变换中1?e例4.3 u?n????j??相当于连续时间傅立叶变换中的j?。

k??????k?,??n??1

n由时域求和性质，可得

n1u?n?????????2?k?（4.42） ?j?1?ek???7、 时域内插

??x?nk?,n为k的整数倍定义：xk?n???

其他n??0， X?k??e?j????x?n?ekn?????j?rk??j?n?r????x?rk?ek??j?rk

r????x?r?e?X?ejk??

所以 xk?n??Xejk?（4.43）

??由图4.11表明：信号的时域与频域存在一种相反的关系。当k增加时，xk?n?在时域上展开，而其变换则在频域上压缩。

图4.11 时域和频域之间的相反关系

8、 频域微分

x?n??X?ej??

X?ej????x?n?en?????j?n

dX?ej??d????jnx?n?e?j?n（4.44）

n?????nx?n??j9、 Parseval定理: 对非周期离散时间信号：

dX?ej??d?（4.45）

n?????x?n??212?2??X?ej??d?（4.46）

2X?ej??2称为x?n?的能量谱密度函数。对周期离散时间信号：

1N ak称为周期信号的功率谱。

2n?N?x?n??2k?N?ak（4.47）

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