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4.9 离散时间LTI系统的频域分析

系统的频率响应Hej?刻画了LTI系统的频域表征，它是系统单位脉冲响应的傅立叶变换。工程中使用相当广泛的一类离散时间LTI系统可以由一个线性常系数差分方程来表征:

??（4.48）

对线性常系数差分方程描述的系统，有以下的方法可求得系统的频率响应。 方法一: 可以从求解x?n????n?时的差分方程得到h?n?,而将h?n?变换而求得

H?ej??。

方法二: 可以通过求出x?n??ej?n时方程的解而得到Hej?因为e统的特征函数, 此时的y?n??Hej?ej?n。

方法三: 对方程两边进行离散时间傅立叶变换,可得到:

??j?n是LTI系

??

（4.48）

可见He??是一个有理函数.当需要得到h?n?时,往往是从方程得到H?e?进而

j?j?通过反变换求得h?n?。

但所有的LTI系统并不一定都存在频域响应。这里有一个先决条件，即

（4.49）

这说明了只有稳定系统，才能求其频率响应。Hej?所表征的系统一定是一个稳定系统。

例4.4 已知描述某系统的差分方程为

??

则由方程可得

?[42?] 1?j?1?j?1?e1?e24 所以

由差分方程所描述的系统通过求频率响应可直接求出其单位脉冲响应。

频域分析的方法：

1. 将信号与系统的时域表征转换为频域表征：

，

2. 利用卷积性质：

3. 将频域表征转换为时域表征：

利用频域分析方法，对输入、输出与系统的表征，若已知其中两个表征就可求出第三个，从而不仅可以分析系统而且还可以设计系统。

习题四

4.1现对一信号x?n?给出如下信息：

1.x?n?是实、偶信号；

2.x?n?有周期N?10和傅里叶系数ak； 3.a11?5；

192??xn?50； 4.?10n?0证明：x?n??Acos?Bn?C?，并给出常数A、B和C的值。

4.2考虑下面三个基波周期为6的离散时间信号：

?2??x?n??1?cos?n?6??

???2?y?n??sin?n??4??6z?n??x?n?y?n?

(a)求x?n?的傅里叶级数系数。 (b)求y?n?的傅里叶级数系数。

(c)利用(a)和(b)的结果，并按照离散时间傅里叶级数相乘性质，求z?n??x?n?y?n?的傅

里叶级数系数。

(d)经由直接求z?n?的傅里叶级数系数，并将结果与(c)作比较。

4.3设

????sinn?sin?cn?4???y?n????? ??n???n?????

式中*记为卷积，且?c??。试对?c确定一个较严格的限制，以保证

2???sinn??4? y?n?????n?????4.4考虑一因果稳定的LTI系统S，其输入为x[n]和输出y[n]通过下面二阶差分方程所关联:

2y[n]?11y[n?1]?y[n?2]?x[n] 66j?（a） 求系统的S频率响应H(e)。

（b） 求系统S的单位脉冲响应h[n]。

4.5（a）考虑以离散时间LTI系统，其单位脉冲响应为

1h[n]?()nu[n]

2 利用傅立叶变换求在下列各输入信号下的响应：

nn （i）x[n]?()u[n] （ii）x[n]?(n?1)()u[n] (iii) x[n]?(?1)

3414n??1?n??n?? （b）假设 h[n]????cos???u[n]

?2?????2?? 利用傅立叶变换求在下列各输入信号下的响应：

?n/2) （i）x[n]?()u[n] （ii） x[n]?cos( （c）设x[n]和y[n]的傅立叶变换为

12nX(ej?)3ej??1?e?j??2e?j3? ， H(ej?)??ej??2e?2j??ej4?

求y[n]?x[n]*h[n]。