北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测 数学（理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合
A??xx?0?，B??0,1,2?，则
（A）A?B （B）B?A （C）A?B?B （D）A?B??
1?2i（2）在复平面内，复数?i对应的点位于
(A)第一象限 （B） 第二象限 （C） 第三象限 （D） 第四象限 （3）下列命题中正确的是
（A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面
（4）一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中△ABC是边长 为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左) 视图的面积为
13（A）2 （B）1 （C）2 （D）
2
（5）在平面直角坐标系内，若曲线C：
x2?y2?2ax?4ay?5a2?4?0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围为
（A）???,?2? （B） ???,?1? （C）?1,??? （D）?2,???
（6）如图所示，点P是函数y?2sin(?x??)(x?R,??0)的图象的最高点，M，N是该图象与x轴的交点，若PM?PN?0，则?的值为
??（A）8
（B）4
（C）4
（D）8
（7）对于函数
f(x）?lgx?2?1，有如下三个命题：
①f(x?2)是偶函数；
②f(x)在区间(??,2)上是减函数，在区间?2,???上是增函数； ③f(x?2)?f(x)在区间?2,???上是增函数．
其中正确命题的序号是
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
2f(x)?x?1的定义域为?a,b?(a?b)，值域为?1,5?，则在平面直角坐标（8）已知函数
系内，点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为
（A）8 （B）6 （C）4 （D）2
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知sin??2cos?，那么tan2?的值为 ． （10）若非零向量a，b满足
a?b?a?b，则a与a?b的夹角为 ．
?sin?x,x?0,5f(x)??f()?f(x?1),x?0,那么6的值为 ． （11）已知函数
（12）在等差数列 其前n项和
?an?中，若a5?a7?4，a6?a8??2，则数列?an?的公差等于 ；
y B F
Sn的最大值为 ．
x2y2?2?1(a?b?0)2A b（13）如图，已知椭圆a的左顶点为A，左焦点为F，
上顶点为B，若?BAO??BFO?90，则该椭圆的离心率是 . (14)已知不等式
?O x xy≤ax2?2y2，若对任意x??1,2?且y??2,3?，该不等式恒成立，则实
数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）
1，b?1．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinB?cosB?
A?（Ⅰ）若
5?12，求c；
（Ⅱ）若a?2c，求△ABC的面积．
（16）（本小题共13分） 在等差数列
?an?中，a1?3，其前n项和为Sn，等比数列?bn?的各项均为正数，b1?1，
q?S2b2．
q公比为，且b2?S2?12，
（Ⅰ）求
an与bn；
11121?????SS2Sn3．
（Ⅱ）证明：3≤1
（17）（本小题共14分）
?如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，?BAD?60，Q为AD的
P PA?PD?AD?2中点，．
M （Ⅰ）求证：AD?平面PQB；
（Ⅱ）点M在线段PC上，PM?tPC，试确定t的值，
D Q A C 使PA//平面MQB；
（Ⅲ）若PA//平面MQB，平面PAD?平面ABCD， 求二面角M?BQ?C的大小．
（18）（本小题共13分）
32f(x)?2ax?3x已知函数，其中a?0．
B （Ⅰ）求证：函数f(x)在区间(??,0)上是增函数； （Ⅱ）若函数
（19）（本小题共13分）
g(x)?f(x)?f?(x)(x??0,1?)在x?0处取得最大值，求a的取值范围．
x2y2?2?1(a?b?0)2b已知椭圆a的右焦点为F(1,0)，M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，
且△OMF是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点， 且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
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