综合与实践1：制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子

课 题： 综合与实践 制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子 课 型： 新授课 教学目标:

1.引导学生通过观察、猜想、操作、抽象、交流、合作、推理与反思等一系列活动，感受从 实际问题抽象出数学问题---建立数学模型----综合应用已有的知识解决问题的过程. 2.在解决问题的过程中进一步丰富学生的空间观念和符号感，通过借助自己拥有的信息去推 断事物的变化趋势的活动，发展学生的推理能力.

3.让学生获得一些初步的做数学实验的方法和经验.体验数学活动充满着探索与创造，通过 获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心.

教学重点与难点：

重点:引导学生探索如何设计制作尽可能大的无盖长方体形盒子.

难点: 感受数量之间相依变化的状态和趋势，体验分割逼近的方法和从特殊到一般的探究过

程.

教法及学法指导：

本节课让学生能够比较完整地经历从具体情境中抽象出数学问题,然后对数学问题进行研究解决,在利用数学知识解决问题的过程.在整个教学过程中,学生进行小组合作活动,在活动中体现自主、合作、探究的学习方式.

课前准备：

教师准备：20×20cm卡纸若干，剪刀、直尺、透明胶布、多媒体课件．

学生准备：学生课前用20×20cm正方形卡纸尝试制作一个无盖的长方体形盒子．

教学过程：

一、创设情境，导入新课

你能帮我吗？

师：同学们，我们班级的粉笔盒坏了，现在老师这里只有一张正方形的卡纸．你能帮帮老师，利用它制作一个无盖的长方体形粉笔盒吗？

生：我能！课前已经做好一个咯！

生：老师，我也做了一个，而且还比他的大．

师：很好！我发现很多同学都做好了，做的很漂亮，非常好！不过，哪位同学做的盒子最大呢？如何做才能够使盒子最大呢？

师：这节课我们就来研究如何制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子．（板书课题） 设计意图：切合学生生活实际，自然有趣，激发学生探究热情．同时，对学生课前制作的盒子大小进行比较，引导学生思考如何制作尽可能大的盒子，为导入新课做好铺垫．

二、动手实践，探索规律 活动一、制作无盖长方体形盒子

师：同学们课前已经用一张正方形卡纸制作了一个无盖的长方体形盒子，那么，你是如何做的呢？

生：我在正方形的四个角，分别画了一个相等的小正方形，然后沿着裁剪线把小正方形剪掉，这样也能折成一个无盖的长方体形盒子．

生：我找了一个无盖的长方体形盒子，把它展开，然后按照展开图，画裁剪线，剪掉之后，也折成了无盖的长方体形盒子．

（制作一个无盖的长方体形盒子的方法很多，可以让学生积极发言，师生共同评价.） 师：同学们的方法各不相同，不过基本思路都一样，就是在正方形的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后沿着虚线折起来，就得到了一个无盖的长方体形盒子．（多媒体展示）

师：请同学们观察你制作的盒子，并思考：剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体形盒子的高有什么关系？

生：剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体形盒子的高相等．

设计意图：让学生通过画、剪、折等亲自动手操作活动，感受纸盒的长、宽、高和原来的纸片的边长以及剪去的小正方形的边长之间的关系，为下一步表示长方体的体积扫清了障碍，初步体会到剪下的小正方形的边长对长方体的体积有较大的影响，学生因急于解决问题而进入了主动学习的状态。

三、建立数学模型

活动二、盒子容积的代数式表达 师：如果大正方形的边长为长方体的容积V吗？

生：交流讨论，并完成下面的填空．（多媒体展示） （1）折成的无盖长方体形纸盒高是 ．

（2）折成的无盖长方体形纸盒的底面积是 ． （3）折成的无盖长方体形纸盒的容积V= ．

a，剪掉小正方形的边长为h,用a

和h来表示这个无盖

?h

?a-2h

?a V ?h

?h ?a-2h

生：我得到的关系式是V?(a?2h)2h．

想一想（多媒体展示）

随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体形盒子的体积如何变化？ 生：小正方形的边长越大，盒子的体积就越大． 师：真的是这样吗？

生：他说的不对．我发现，小正方形的边长增大到一定程度，如果继续增大，盒子的容积反而随着变小了．

师：那么到底是如何变化的呢？

设计意图：学生纸盒进行想像及考察，感受纸盒的长、宽、高和原来的纸片的边长以及剪去的小正方形的边长之间的关系，体会实际问题转化为数学问题的过程，体会建模的方法，为下一步分割逼近寻找最大值做准备．

四、合作探究，分割逼近

活动三、代入具体数值计算盒子容积 师：如果用边长为20cm的正方形纸制作无盖长方体形盒子，剪去的小正方形的边长为

h cm，此时，盒子容积V如何表达？

生：V?(20?2h)2h．

师：小正方形的边长h 的取值范围是多少？ 生：0 cm到10 cm之间．

师：这位同学回答的非常好．下面请同学们，利用计算器进行计算，并将结果填入下面的表格中．（多媒体展示）

剪去小正方形的边长h/cm 无盖长方体的底面积 （20—2h）/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

师：请你选择合适统计图，表示正方形的边长与所得的无盖长方体形的盒子的容积变化情况．

（多媒体展示）

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 22无盖长方体的容积 （20—2h）.h/cm 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 23

生：结合统计表，小组合作制作统计图．（多媒体展示）

师：观察统计表和统计图，当小正方形边长变化时，所得到的无盖长方体形的盒子的容积是如何变化的？

生：可以看出，当小正方形边长从1cm逐渐增大到3 cm时，无盖长方体形盒子的容积逐渐增大；其后随着小正方形边长的增加容积逐渐减小；当小正方形边长为10 cm时，容积为0 cm．

师：当小正方形边长取什么值时，所得到的无盖长方体形盒子的容积最大？最大是多少？

生：当小正方形边长为3 cm时，容积最大，为588 cm． 师：你同意他的看法吗？为什么？

生：不同意．我通过折线统计图发现，当小正方形的边长为3 cm时，盒子的容积并不是最大的，而应该是当小正方形的边长在3—4 cm之间时，盒子的容积最大．

设计意图：通过收集有关数据、观察相关数据的统计图，引导学生推断“无盖长方体形盒子容积的变化”和“所剪去的小正方形边长的变化”之间的关系．探究当x取什么值时，v的值最大，归纳出结论；体会分割逼近的思想；体会探究学习的方法．这里关键是引导学生对多研究的问题进一步思考，对研究方法、研究方向有更明确的感悟．

师：我们发现，当小正方形的边长在3—4 cm之间多少时，盒子的容积最大呢．我们可以再3—4cm之间，按0.1cm的间隔取值，然后代入计算．来探究一下．

生：小组合作，明确分工，完成统计表和统计图的制作．（多媒体展示）

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