一、极值点偏移的判定定理
对于可导函数y?f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，方程f(x)?0的解分别为x1,x2，且a?x1?x2?b，
（1）若f(x1)?f(2x0?x2)，则极（小）大值点x0右（左）偏；
（2）若f(x1)?f(2x0?x2)，则极（小）大值点x0右（左）偏.
证明：（1）因为对于可导函数y?f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，则函数f(x)的单调递增（减）区间为(a,x0)，单调递减（增）区间为(x0,b)，由于有x1?x0，且2x0?x2?x0，又f(x1)?f(2x0?x2)，故x1?(?)2x0?x2，a?x1?x2?b，所以
x1?x2?(?)x0，即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上2x1?x2?(?)x0，即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上2x1?x2?(?)x0，即函数极（小）大值点x0右（左）偏； 2（2）证明略.
左快右慢（极值点左偏?m?x?x2x1?x2） 左慢右快（极值点右偏?m?1） 22
左快右慢（极值点左偏?m?x1?x2x?x2） 左慢右快（极值点右偏?m?1） 22二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：
（1）求出函数f(x)的极值点x0；
（2）构造一元差函数F(x)?f(x0?x)?f(x0?x)； （3）确定函数F(x)的单调性；
（4）结合F(0)?0，判断F(x)的符号，从而确定f(x0?x)、f(x0?x)的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型
答题模板：若已知函数f(x)满足f(x1)?f(x2)，x0为函数f(x)的极值点，求证：
x1?x2?2x0.
（1）讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x0；
假设此处f(x)在(??,x0)上单调递减，在(x0,??)上单调递增.（2）构造F(x)?f(x0?x)?f(x0?x)；
注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)?f(x)?f(2x0?x)的形式.
[KS5UKS5U][KS5UKS5U.KS5U
（3）通过求导F'(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出
f(x0?x)与f(x0?x)的大小关系；
假设此处F(x)在(0,??)上单调递增，那么我们便可得出
F(x)?F(x0)?f(x0)?f(x0)?0，从而得到：x?x0时，f(x0?x)?f(x0?x).
（4）不妨设x1?x0?x2，通过f(x)的单调性，f(x1)?f(x2)，f(x0?x)与f(x0?x)的大小关系得出结论；
接上述情况，由于x?x0时，f(x0?x)?f(x0?x)且x1?x0?x2，f(x1)?f(x2)，故f(x1)?f(x2)?f[x0?(x2?x0)]?f[x0?(x2?x0)]?f(2x0?x2)，又因为x1?x0，
从而得到x1?2x0?x2，从而x1?x2?2x0得2x0?x2?x0且f(x)在(??,x0)上单调递减，证.
（5）若要证明f'(x1?x2x?x2x?x2)?0，还需进一步讨论1与x0的大小，得出1所在的222x1?x2?x0，由于f(x)在(??,x0)上单2单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.
此处只需继续证明：因为x1?x2?2x0，故调递减，故f'(【说明】
（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；
（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明f(x0?x)与f(x0?x)（或f(x)与f(2x0?x)）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如x1?x2?2x0或f'(小问分解为三问逐步解题.
[KS5UKS5U.KS5Ux1?x2)?0. 2x1?x2)?0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该2
三、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数f(x)?xe(x?R). (1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明：x1?x2?2.
?x
∵x2?1，∴2?x2?1，f(x)在(??,1)上单调递增，∴x1?2?x2，∴x1?x2?2. ★函数f(x)?x?证明：x1?x2?2.
4431x与直线y?a(a??)交于A(x1,a)、B(x2,a)两点. 33
2?lnx，若x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明：x1?x2?4. x2【解析】由函数f(x)??lnx单调性可知：若f(x1)?f(x2)，则必有x1?2?x2，。
x★已知函数f(x)?所以4?x1?2， 而f(x1)?f(4?x1)?22?lnx1??ln(4?x1)， x14?x1
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