专题02 函数的零点-2019年高考数学总复习巅峰冲刺(解析版)

函数的零点问题是高考的热点问题，常见的考查方式为：函数零点的个数问题，已知零点的个数求参数的范围、零点的位置问题、零点的近似解问题等。问题解法灵活，综合性强。充分体现了函数与方程思想，即通过建立函数关系，用运动和变化的观点，分析和研究数量关系，或运用函数的图像和性质分析，转化、进而解决问题。体现对直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查。

?x2?2ax?a,1.（2018天津高考理14）已知a?0,函数f(x)??2??x?2ax?2a,x?0,若关 x?0.于x的方程f(x)?ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是__________. 【答案】(4,8)

解法一：分析：本题为分段函数零点问题，先由分段函数条件，进行分类解决，即当x?0时，得：

x2x2x?2ax?a?ax,然后分离变量得：a??, 同理可得：a?,此时建立函数

x?1x?22?x2?,x?0??x?1g(x)??2,将零点个数问题，转化为函数图像（借助对勾函数和图像平移）的交点问题解决。

?x,x?0??x?2源:Zxxk.Com][来

?x2?,x?02?x214?x?1??x???x?1??2?,?x?2??4 , 其中?令g(x)??2x?1x?1x?2x?2???x,x?0??x?2原问题等价于函数g(x)与函数y?a有两个不同的交点,求a的取值范围。 结合对勾函数和函数图像平移的规律绘制函数g(x)的图像, 同时绘制函数y?a的图像如图所示,考察临界条件, 结合a?0观察可得,实数a的取值范围是(4,8)。

解法二：分析：先由分段函数条件，进行分类解决，即当x?0时，得：x?2ax?a?ax,然后分离变量

2x2x2, 化为函数g(x)??得：a??，运用导数研究函数，将零点个数问题转化为函数图像的交点问 x?1x?1题解决。学#科网

x2, 整理可得: x?a(x?2)， 很明显x?2不是方程的实数解,则a?x?222x(x?2)?x2x2?4xx2?设h(x)?，则h?(x)?，

(x?2)2(x?2)2x?2由h?(x)?0得x?4，此时递增，

由h?(x)?0得0?x?2或2?x?4，此时递减，即当x?4时，h(x)取得极小值为h(4)?8h， 同时绘制函数图像如图所示,考察临界条件,

结合a?0，y?a观察可得,实数a的取值范围是(4,8)。

解法三：分析：先由分段函数进行分类讨论，运用换元法化为二次函数图像问题解决。

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y10.250.125Ot

?x2?ax?a,解法四：分析：构建函数整体解决，即化为g(x)?f(x)?ax??2??x?ax?2a,x?0,讨论二次函数的交x?0.