2020高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介-含答案

教学资料范本 2020高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介-含答案 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 9 20xx最新高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介-含答案 1．柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R. (2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的?x＝ρcos θ，变换公式为?y＝ρsin θ，?z＝z.2．球坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π. 2 / 9 (2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的?x＝rsin φ·cos θ，变换关系为?y＝rsin φ·sin θ，?z＝rcos φ. 柱坐标与直角坐标的互相转化 [例1] (1)设点A的直角坐标为(1，，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解． [解] ?x＝ρcos θ，(1)由变换公式?y＝ρsin θ，得ρ2＝x2＋y2，?z＝z， 即ρ2＝12＋()2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝＝，又x＞0，y＞0，点A在第一象限． ∴θ＝，∴点A的柱坐标为. (2)由变换公式得： x＝4cos ＝2，y＝4sin＝2，z＝8. ∴点P的直角坐标为(2,2，8)． 由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ，也可利用ρ2＝x2＋y2，求ρ. 利用tan θ＝求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标. 1．已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝ ＝ ＝1. ∵x＝0，y＞0，∴θ＝. ∴点M的柱坐标为. 2．已知点N的柱坐标为，求它的直角坐标． 3 / 9 解：由变换公式得 x＝2cos＝0，y＝2·sin＝2， 故点N的直角坐标为(0,2,3). 球坐标与直角坐标的互相转化 [例2] (1)已知点P的球坐标为求它的直角坐标． (2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－2)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由变换公式得： x＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2. y＝rsin φsin θ＝4sinsin＝2. z＝rcos φ＝4cos＝－2. 故其直角坐标为(2,2，－2)． (2)由坐标变换公式，可得 r＝＝＝4. 由rcos φ＝z＝－2， 得cos φ＝＝－，φ＝. 又tan θ＝＝1，θ＝(M在第三象限)， 从而知M点的球坐标为. 由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置. 3．求下列各点的直角坐标： (1)M；(2)N. 解：(1)由变换公式得： x＝rsin φcos θ＝2sincos＝， 4 / 9