浙教版八下数学各章节知识点及重难点
第一章 二次根式
知识点一： 二次根式的概念
二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以而
，是
为二次根式的前提条件，如等都不是二次根式。
，
，
等是二次根式，
知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当时，有意义，
是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，意义。
没有
知识点三：二次根式（）的非负性
（0
）表示a的算术平方根，也就是说，
（
）。
（）是一个非负数，即
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的
）的算术平方根是非负数，即
0（
），这
算术平方根是0，所以非负数（
个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若则a=0,b=0。
，则a=0,b=0；若
，则a=0,b=0；若
，
知识点四：二次根式（）的性质
1
（
）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式
（
）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：
若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简等于a本身，即
时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则
；若a是负数，则等于a的相反数-a,即
；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：
方，而
与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平
中
，而，
中a可以。因而
表示一个实数a的平方的算术平方根；在
与
都是非负数，即
是正实数，0，负实数。但
它的运算的结果是有差别的， ，而
2
2、相同点：当被开方数都是非负数，即
而
.
时，
=
；
时，
无意义，
知识点七: 最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。 知识点八: 同类二次根式：
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。 知识点九: 二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
二次根式的乘法：
二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
强调：二次根式具有双重非负性。
（4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成
（5）有理化因式：
一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①
与
； ②
．
与；
3
③
与
； ④
与
．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化． （6）分母有理化：
分母有理化也称为有理化分母。就是将分母含有根号的代数式变成分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。
(1)形如：
ba?baa?a?bac? 或
aa?bc?a?ba?b?a?b?ca?b a?b(2)形如：
ca?b?c?(a?b)(a?b)(a?b)?c(a?b) 或 2a?bca?b?c?(a?b)(a?b)(a?b)?c(a?b)
a?b【难点指导】
1、如果2、当非负数写成
3、4、区别
表示
是二次根式，则一定有时，
；当
时，必有
；
；反过来，也可以将一个
表示的算术平方根，因此有
的形式；
的算术平方根，因此有和
的不同：
中的只能是一个非负数，否则
无意义．
，可以是任意实数；
中的可以取任意实数，
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若
，则将负号留在根号外．即：
．
（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
6、二次根式的比较： （1）若
，则有
；（2）若
，则有
．
说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．
4
第二章 一元二次方程
知识点：
1. 定义：形如ax2?bx?c?0(a?0) 的方程叫做一元二次方程，其中，a 叫做二次项系
数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。
例：若方程(m?2)x|m|?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m??2 B．m=2 C．m= —2 D．m??2 2.一元二次方程的解法： （1）直接开平方法；（2）因式分解分（提公因式法、乘法公式法、十字相乘法）；（3）配方法；（4）求根公式法;（5）换元法。 例：按要求解方程 （1）用配方法解方程：x
3.一元二次方程根的判别式：△=b2?4ac .
△>0,方程有两个不相等的实数根；△=0 ，方程有两个相等的实数根；△<0，方程无实数根。
2
例1．如果关于x的方程ax+x–1= 0有实数根，则a的取值范围是（ ） 1111
A．a＞– B．a≥– C．a≥– 且a≠0 D．a＞– 且a≠0
4444
22例2．若t是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根，则判别式??b?4ac和完全平
22?4x?1?0 （2）用公式法解方程：3x2?5?2x?1??0
方式M?(2at?b)的关系是（ ）
A.△=M B. △>M C. △ 2 2 例1：设x1、x2是方程2x-4x-2=0的两个实根，求x1+x2。 2 例2：若一个三角形的三边长均满足方程x-6x+8=0，则此三角形的周长为_______ 5、一元二次方程应用题 易错点分析： 易错点一：（概念） 1) 判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数不为“0”. 如：下列关于x的方程中，是一元二次方程的有--------（） 5
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