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ξ
?1???3=?2?????2?，经单位化得η
?25/5??1/3???3=?2/3?. ????2/3?215/151/3??所求正交矩阵为
T=??5/545/152/3?.
??05/3?2/3???100?对角矩阵
D=??010???. ?00?8???215/151/3?（也可取?25/5T=
??0?5/32/3?.）
??5/5?45/15?2/3??31.解 f(x，x2
2x2
2
12，x3)=（x1+2x2-2x3）-2+4x2x3-7x3
=（x21+2x2-2x23）-2（x2-x3）2-5x3.
?y?1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2y2设??y2?x2?x3，
即??x2?y2?y3，
????y3?x33?x?y3?1?20?因其系数矩阵
C=??011???可逆，故此线性变换满秩。
?001??经此变换即得f(x1，x22，x23)的标准形 y2 1-2y2-5y3.
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，
所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 .
33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.
（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，
即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 所以η0，η1，η2线性无关。
6
l0=0 .
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