(2)根据归一化条件
??0f(?)d??1得：
?0o?a??o(2a?a?o?)d????2?0d??1
o?即 ：?a?12o2o1?a?o?12
?a?1图?o
（3）根据最概然速率的定义，由速率分布曲线得 ????o???op??o
a（4）N个粒子的平均速率为：
?0?dNN???o?f(?)d?oa?o2??2d?????(2a?o?o?)d?
?a134222??o?a(?o??o)?o33312??o??o
2?a?o??o
0:?o/2（5）在速率
之间的粒子数
aN1?o21111()?aN?o???N??o?N?o2288?o8o/2o/2?N???f(?)Nd????ooa?o?Nd??
（6）?o/2—?o区间内分子总数为：
a?ooN'????o/2f(?)Nd????o/2?o?Nd??aN1?21?3???o?(?0)2??N?o2?2?8
21
??o/2??o区间内分子的平均速率为：
?dN???
?o?o/2N'???o?o/2??f(?)Nd?3N8?8?oa???d? ?o/2?3?o8a1?313?8a73?????o?(?o)?????o3?o3?2?33?o8
727217??oa??o???o?0.778?o99?o9
-105-17 设氮气分子的有效直径为10m，（1）求氮气分子在标准状态下的碰撞频率；（2）若温度不变，气压降到1.33?10?4Pa，求碰撞频率。
5分析：标准状态下，p?1.013?10碰撞频率的定义求解。
pa,T?273k，（1）
和（2）可由平均自由程公式、平均速度公式、
解 （1）氮气分子在标准状态下的平均自由程为：
KT1.38?10?23?273?7????8.4?10(m)2?10252?dp2?3.14?(10)?1.013?10 度
氮
??气分子的
平均速
8RT8?8.31?273??4.54?102(m?s?1)?3?m3.14?28?10氮气分子在标准状态下的碰撞频率
?4.54?102z???5.43?108(s?1) ?7?8.4?10（2）当温度
T?273K，压强
p?1.33?10?4pa时，
22
氮分子的平均自由程：
KT1.38?10?23?2732????6.37?10(m)2?102?42?dp2?3.14?(10)?1.33?10
所以氮气分子的碰撞频率为：
?4.54?102z???0.71(s?1) 2?6.37?105-18 目前实验室获得的极限真空约为
1.33?10?11Pa，这与距地球表面1.0?10km处的压强大致
40?8相等。试求在27C时单位体积中的分子数及分子的平均自由程。（设气体分子的有效直径3.0?10由程公式求解此题。
解：分子数密度为：
p1.33?10?11n???3.21?109(m?3)?23kT1.38?10?(273?27)cm）
分析：由理想气体压强公式p?nkT和平均自
分子的平均自由程为：
kT1.38?10?23?(273?27)8????7.8?10(m)2?102?112?dp2?3.14?(3.0?10)?1.33?10
可见分子间几乎不发生碰撞。
5-19 一架飞机在地面时机舱中的压力计指示为1.01?10Pa，到高空后压强为8.11?10Pa。设大气
54的温度均为27C。问此时飞机距地面的高度为多
0少？（设空气的摩尔质量为2.89?10?2kg?mol?11
）
分析：当温度不变时，大气压强随高度的变
23
化主要由分子数密度的改变而确定，且气体分子在重力场中的分布满足玻耳兹曼分布。利用地球表面附近气压公式可求此题。
解：由地球表面附近气压公式p?p即可得飞机距地面的高度为：
h?kTRTln(p0/p)?ln(p0/p)mg?g0e(?mgh/kT)
?8.31?(273?27)?ln(1.01?105/8.11?104)?1.93?103(m)?22.89?10?9.85-20 一圆柱形杜瓦瓶的内外半径分别为
R1=9cm和R2=10cm，瓶中贮有0C的冰，瓶外周围空气
0的温度为20C，求杜瓦瓶两壁间的空气压强降到
0何值以下时，才能起保温作用？（设空气分子的有效直径为3?10 m，壁间空气温度等于冰和周
-10围空气温度的平均值。）
分析：先求得杜瓦瓶两壁间的空气温度，再由平均自由程公式和p?nkT求得压强。由于当杜瓦瓶没有分子碰撞时，它才能起到保温作用。而杜瓦瓶两壁间分子的平均自由程越大，它起到的保温效果就越好。
解 ：杜瓦瓶两壁间的空气温度为 20?273?0?273T??283(K) 2 Q??
1?22n?dkT2?pd2 24
?p?kT2?d2?
1即p??，压强越低，分子间平均自由程越大。
当??(10?9)?10?2m时，p?kT2?d2?
故杜瓦瓶两壁间空气的最大压强为：
pmaxkT1.38?1023?283??pa?0.997pa2?10?22?d?2?3.14?(3?10)?1.0?10
a所以，当杜瓦瓶两壁间的空气压强降到0.997p以下时，才能起保温作用。
?25-21 真空管的线度为10m，其中真空度为
1.33?10?3Pa0，设空气分子的有效直径为3?10 m ，
-10求27C时单位体积内的空气分子数、平均自由程和平均碰撞频率。
分析：由理想气体压强公式p?nkT求单位体积内的空气分子数，由求平均自由程的定义求平均自由程，再由平均速率的公式和平均碰撞频率的定义求解平均碰撞频率。
解： 单位体积内空气分子数为：
p1.33?10?317?3n???3.21?10(m)?23KT1.38?10?(27?273)
空气分子的平均自由程：
KT1.38?10?23?(27?273)????7.79(m)2?3?1022p?d2?1.33?10?(3?10)
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