椭圆与双曲线的性质
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x2y2xxyy5. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.
ababx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线
abxxyy方程是02?02?1.
abx2y27. 椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆
ab的焦点角形的面积为S?F1PF2?btan2?2.
x2y28. 椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：
ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应
于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P
和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y2b211. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??2，
abab2x0即KAB??2。
ay0x0xy0yx02y02x2y212. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是2?2?2?2.
abababx2y2x2y2x0xy0y13. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2.
ababab双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除
去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
1 / 15
x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是
abx0xy0y?2?1. 2abx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、
abxxyyP2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.
abx2y27. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，
ab则双曲线的焦点角形的面积为S?F1PF2?bcot2?2.
x2y28. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)
ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.
当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ
分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交
于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y211. AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则
abb2x0b2x0KOM?KAB?2，即KAB?2。
ay0ay0x2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是
abx0xy0yx02y02?2?2?2. a2babx2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
abx2y2x0xy0y??2?2. a2b2ab椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭 圆
x2y21. 椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、
abx2y2P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y22. 过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C
ab2 / 15
两点，则直线BC有定向且kBCb2x0?2（常数）. ay0x2y23. 若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??,
ab?PF2F1??，则
a?c???tancot. a?c22x2y24. 设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在
ab△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
sin??sin?ax2y25. 若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤2?1时，
ab可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y26. P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
ab2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
(x?x0)2(y?y0)2??1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是7. 椭圆22ab2222Aa?Bb?(Ax0?By0?C)2. x2y28. 已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）
ab4a2b2a2b2111122
S?OPQ的最小值是2???;（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）.
a?b2a?b2|OP|2|OQ|2a2b2x2y29. 过椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分
ab|PF|e?. 线交x轴于P，则
|MN|2x2y210. 已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交
aba2?b2a2?b2?x0?于点P(x0,0), 则?. aax2y211. 设P点是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，
ab2b2?2则(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?btan.
1?cos?23 / 15
x2y212. 设A、B是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?PAB??,
ab2ab2|cos?|.(2) ?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|?22a?ccos2?tan?tan??1?e.(3) S?PAB22a2b2?2cot?. 2b?ax2y213. 已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭
ab圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必
与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
双曲线
x2y21. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交
abx2y2双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y22. 过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲
abb2x0线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC??2（常数）.
ay0x2y23. 若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,
ab?PF1F2??, ?PF2F1??，则
c?a??c?a???tancot（或?tancot）. c?a22c?a224 / 15
x2y24. 设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任
ab意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
?(sin??sin?)ax2y25. 若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2?1ab时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y26. P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则
ab|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成
立.
x2y27. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是
abA2a2?B2b2?C2.
x2y28. 已知双曲线2?2?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ.
ab4a2b2111122
??2?2;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2（1）;（3）S?OPQ的最小值是222b?a|OP||OQ|aba2b2.
b2?a2x2y29. 过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN
ab|PF|e?. 的垂直平分线交x轴于P，则
|MN|2x2y210. 已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x
aba2?b2a2?b2轴相交于点P(x0,0), 则x0?或x0??.
aax2y211. 设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记
ab2b2?2?F1PF2??，则(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?bcot.
1?cos?2x2y212. 设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，?PAB??,
ab?PBA??,?BPA??，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有
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