5数值积分与数值微分课件

定义5.2 若求积公式

?baf(x)dx??Aif(xi)

i?1n对所有不超过m次的多项式pm(x)有求积余项R(pm)?0，而对某一个m+1次多项式pm?1(x)有R(pm?1)?0，则称该求积公式的代数精度为m。

R(f)??f(x)dx??Aif(xi)

ai?1bn一般，一个求积公式的代数精度越大，则该求积公式越好。

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确定代数精度的方法

依次取f(x)?xk(k?0,1,?)代入公式

R(f)??f(x)dx??Aif(xi)

ai?1bnkR(x)?0是否成立。 并验证

若第一个使R(xk)?0不成立的k值为m，

则对应的代数精度为m-1。

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例 5.1确定求积公式 ?的代数精度。

kf(x)?x解 取代入求积公式有

?11f(x)dx?f(?33)?f() 333k3kR(x)??xdx?[(?)?()]?133 13kk?[?()](1?(?1))k?13k1k易验证

R(x)?R(x)?R(x)?R(x

01238)?0，但R(x)??0，

454故本题求积公式代数精度为3。

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例 5.2确定下面求积公式

?2h?2hf(x)dx?Af(?h)?Bf(0)?Cf(2h)

的参数A，B，C，使它具有尽可能高的代数精度，并指出相应的代数精度。

解 本题要先求出具体的求积公式，然后再判断所求公式的代数精度。

公式有3个待定参数，h不是求积公式的参数，故利用3个条件得到的3个等式关系就可以解决求出具体求积公式的问题。

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