解：（1）由0＜x＜2， 得
2
点评：本例不给出f(x)的解析式，即由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到。
变式题：已知函数f（x）=（ ）
A．a＞
133x?1的定义域是R，则实数a的取值范围是2ax?ax?33B．－12＜a≤0
?a?0, C．－12＜a＜0 D．a≤
13解：由a=0或??Δ?a?4a?(?3)?0,2可得－12＜a≤0，答案B。
题型四：函数值域问题
例5．求下列函数的值域： （1）y?3x?x?2；（2）（4）y?x?41?x；（5）
2y??x2?6x?5；（3）y?3x?1； x?2y?x?1?x2；（6）y?|x?1|?|x?4|；
2x2?x?22x2?x?111?sinx(x?)；（7）y?2；（8）y?（9）y?。
x?x?12x?122?cosx12323， y?3x2?x?2?3(x?)2??61212232∴y?3x?x?2的值域为[,??)。
12解：（1）（配方法）Q改题：求函数y?3x?x?2，x?[1,3]的值域。
解：（利用函数的单调性）函数y?3x?x?2在x?[1,3]上单调增， ∴当x?1时，原函数有最小值为4；当x?3时，原函数有最大值为26。 ∴函数y?3x?x?2，x?[1,3]的值域为[4,26]。
（2）求复合函数的值域： 设???x?6x?5（?22222?0），则原函数可化为y??。
2又∵???x?6x?5??(x?3)?4?4， ∴0??∴y??4，故??[0,2]，
?x2?6x?5的值域为[0,2]。
（3）（法一）反函数法：
y?3x?12x?1的反函数为y?，其定义域为{x?R|x?3}， x?2x?3∴原函数
y?3x?1的值域为{y?R|y?3}。 x?23x?13(x?2)?77， ??3?x?2x?2x?2（法二）分离变量法：y?∵
77?0，∴3??3， x?2x?2∴函数
y?3x?1的值域为{y?R|y?3}。 x?22（4）换元法（代数换元法）：设t?1?x?0，则x?1?t， ∴原函数可化为y?1?t?4t??(t?2)?5(t?0)，∴y?5， ∴原函数值域为(??,5]。 注：总结y?ax?b?变形：
22cx?d型值域，
y?ax2?b?cx2?d或y?ax2?b?cx?d （5）三角换元法：
∵1?x?0??1?x?1，∴设x?cos?,??[0,?]， 则y?cos?2?sin??2sin(??)
4??∵??[0,?]，∴???2?5?,1]， ?[,]，∴sin(??)?[?42444∴2sin(??)?[?1,2]，
4?∴原函数的值域为[?1,2]。
??2x?3(x??4)?(?4?x?1)， （6）数形结合法：y?|x?1|?|x?4|??5?2x?3(x?1)?∴y?5，∴函数值域为[5,??)。
（7）判别式法：∵x?x?1?0恒成立，∴函数的定义域为R。
22x2?x?22由y?2得：(y?2)x?(y?1)x?y?2?0 ①
x?x?1①当y?2?0即y?2时，①即3x?0?0，∴x?0?R
②当y?2?0即y?2时，∵x?R时方程(y?2)x?(y?1)x?y?2?0恒有实根，
2?(y?1)?4?(y?2)?0， ∴△V22∴1?y?5且y?2， ∴原函数的值域为[1,5]。
12x?x?1x(2x?1)?1111（8）y???x??x??2?，
2x?12x?12x?12x?1222∵x?11，∴x??0， 22?2，
1111∴x??2?2(x?)22x?12(x?1)22当且仅当x?1?21时，即x?时等号成立。 ?2x?12212∴y?12?，
212?,??)。
2∴原函数的值域为[（9）（法一）方程法：原函数可化为：sinx?ycosx?1?2y，
∴1?y2sin(x??)?1?2y（其中cos??1?2y1?y211?y2,sin??y1?y2），
∴sin(x??)??[?1,1]，
∴|1?2y|?21?y2，
∴3y?4y?0， ∴0?y?4， 343∴原函数的值域为[0,]。
点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后
面的复习中要作详尽的讨论。 题型五：函数解析式
例6．（1）已知（2）已知
11f(x?)?x3?3，求f(x)；
xx2f(?1)?lgx，求f(x)； x（3）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，求f(x)；
1f()?3x，求f(x)。 x111313解：（1）∵f(x?)?x?3?(x?)?3(x?)，
xxxx（4）已知f(x)满足2f(x)?∴f(x)?x?3x（x?2或x??2）。
322， ?1?t（t?1），则x?xt?122∴f(t)?lg，f(x)?lg (x?1)。
t?1x?1（2）令
（3）设f(x)?ax?b(a?0)，
则3f(x?1)?2f(x?1)?3ax?3a?3b?2ax?2a?2b∴a?2，b?7， ∴f(x)?2x?7。
?ax?b?5a?2x?17，
1f()?3x ①， x113把①中的x换成，得2f()?f(x)? ②，
xxx3①?2?②得3f(x)?6x?，
x1∴f(x)?2x?。
x（4）2f(x)?点评：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。
例7．（2006重庆理21）已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x。 （Ⅰ）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0-)= x0。求函数f(x)的解析表达式。 解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x， 所以f(f(2)－22+2)=f(2)－22+2。
又由f(2)=3，得f(3－22+2)－3－22+2，即f(1)=1。 若f(0)=a，则f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a。
（Ⅱ）因为对任意x∈R，有f(f(x))－ x2 +x)=f(x)－ x2 +x。
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)－ x0。 所以对任意x∈R，有f(x)－ x2 +x= x0.。 在上式中令x= x0，有f(x0)－x0 + x0= x0。
又因为f(x0)－ x0，所以x0－x0=0，故x0=0或x0=1。 若x0=0，则f(x)－ x2 +x=0，即f(x)= x2 –x。
但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0。 若x2=1，则有f(x)－ x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1。 易验证该函数满足题设条件。
综上，所求函数为f(x)= x2 –x+1（x?R）。
22点评：该题的题设条件是一个抽象函数，通过应用条件进一步缩小函数的范围得到函数的解析式。这需要考生有很深的函数理论功底。 题型六：函数应用
例8．（2003北京春，理文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：
3600?300050 =12，所以这时租出了88辆车。
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为： f（x）=（100－
x?3000x?3000）（x－150）－×50， 50501x2整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050。
5050所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050。
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
点评：根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定变量去寻求等量关系并求得函数表达式后，还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。
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