例9．（2006湖南 理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：1?污物质量）为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99。有两种方案可供选择，
物体质量（含污物）方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为
a(1?a?3)。设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是
二次清洗后的清洁度是
x?0.8(x?a?1)，用y单位质量的水第
x?1y?ac，其中c(0.8?c?0.99)是该物体初次清洗后的清洁度。 y?a(Ⅰ)分别求出方案甲以及c?0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
(Ⅱ)若采用方案乙, 当a为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响。
解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z。
x?0.8=，解得x=19。 x?1由c?0.95得方案乙初次用水量为3,
由题设有
第二次用水量y满足方程: 4a+3。
因为当1?a?3时,x?z?4(4?a)?0,即x?z,故方案乙的用水量较少。
（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（I）得
y?0.95a?0.99,解得y=4a,故z=4a+3.即两种方案的用水量分别为19与
y?a5c?4，y?a(99?100c)（*）
5(1?c)5c?41?100a(1?c)?a?1 于是x?y?+a(99?100c)?5(1?c)5(1?c)x?当a为定值时,x?y?21?100a(1?c)?a?1??a?45a?1,
5(1?c)当且仅当
1?100a(1?c)时等号成立。
5(1?c)11(不合题意,舍去)或c?1??(0.8,0.99),
105a105a1代入（*）式得x?25a?1?a?1,y?25a?a.
105a此时c?1?将c?1?故c?1?1时总用水量最少,
105a此时第一次与第二次用水量分别为25a?1与25a?a， 最少总用水量是T(a)??a?45a?1。
当1?a?3时,T'(a)?25?1?0, a故T(a)是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明,随着a的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量。
点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。该题典型代表高考的方向。 题型7：课标创新题
例10．（1）设f(x)?x?ax?bx?cx?d，其中a、b、c、d是常数。 如果f(1)?10,f(2)?20,f(3)?30,求
432f(10)?f(?6)的值；
22x?1?m(x?1)对满足?2?m?2的所有m都成立，求x的取值范围。 （2）若不等式
解：（1）构造函数g(x)?f(x)?10x,则g(1)?g(2)?g(3)?0,故：
2(x?1)m?(2x?1)?0. （2）原不等式可化为
2f(m)?(x?1)m?(2x?1)(?2?m?2)，其图象是一条线段。 构造函数
根据题意，只须：
2??2x?2x?3?0,?2?2x?2x?1?0.即?
?1?71?3?x?22。 解得
点评：上面两个题目通过重新构造函数解决了实际问题，体现了函数的工具作用。
五．思维总结
“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。
1．求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知
f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。 2．求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义； （3）已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域： ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知f(x)的定义域
?a,b?，其复合函数f?g(x)?的定义域应由a?g(x)?b解出。
3．求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。
①直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数
y?k(k?0)的定义域为{x|x?0}，值域为{y|y?0}； x二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R，
2(4ac?b)}； 当a>0时，值域为{y|y?4a2(4ac?b)}。 当a<0时，值域为{y|y?4a②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
f(x)?ax2?bx?c,x?(m,n)的形式；
③分式转化法（或改为“分离常数法”）
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：
y?x?k(k?0)，利用平均值不等式公式来求值域； x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
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