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实验四 Stability analysis of linear systems
线性系统稳定性分析
一、实验目的
1．通过响应曲线观测特征参量?和?n对二阶系统性能的影响。 2．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。 二、基础知识及MATLAB函数
注意：routh（）和hurwitz（）不是MATLAB中自带的功能函数，(在共享文件夹里有劳斯判据和赫尔维茨判据的m文件，把其中的routh.m和hurwitz .m放到MATLAB文件夹下的work文件夹中才能运行)。 1）直接求根判稳roots()
控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。因此，为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。MATLAB中对多项式求根的函数为roots()函数。
若求以下多项式的根s4?10s3?35s2?50s?24，则所用的MATLAB指令为： >> roots([1,10,35,50,24])
ans =
-4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000
特征方程的根都具有负实部，因而系统为稳定的。 2）劳斯稳定判据routh（）
劳斯判据的调用格式为：[r, info]=routh(den)
该函数的功能是构造系统的劳斯表。其中，den为系统的分母多项式系数向量，r为返回的routh表矩阵，info为返回的routh表的附加信息。
以上述多项式为例，由routh判据判定系统的稳定性。
>> syms EPS den=[1,10,35,50,24]; ra=routh(den,EPS) r=
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1 35 24 10 50 0 30 24 0 42 0 0 24 0 0 info=
[ ]
由系统返回的routh表可以看出，其第一列没有符号的变化，系统是稳定的。 3）赫尔维茨判据hurwitz（）
赫尔维茨的调用格式为：H=hurwitz（den）。该函数的功能是构造hurwitz矩阵。其中，den为系统的分母多项式系数向量。
以上述多项式为例，由hurwitz判据判定系统的稳定性。
>>den=[1,10,35,50,24]; H=hurwitz(den)
H=
10 50 0 0 1 35 24 0 0 10 50 0 0 1 35 24
由系统返回的hurwitz矩阵可以看出，系统是稳定的。与前面的分析结果完全一致。
4）开环增益K0和时间常数T改变对系统稳定性及稳态误差的影响 系统开环传递函数为：G(s)? 系统开环传递函数为： G(s)?10K0
s(0.1s?1)(Ts?1)10K0，参考以下图片中的仿真程序：
s(0.1s?1)(Ts?1)式中，K0=R2/R1，R1?100k?，R2?0~500k?；T?RC,R?100k?，C取1?F或0.1?F两种情况。
，C?1?F；改变电位器，使R2从0→500k?方向变化，观察（1）输入信号Ur?1系统的输出波形，确定使系统输出产生等幅震荡时相应的R2值及K0值，分析K0变化对系
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统稳定性的影响。
（2）分析T值变化对系统的影响。
（3）观察系统在不同输入下稳态误差变化的情况。 四、软件仿真实现方法
（1）开机执行程序c:\\Matlab\\bin\\Matlab.exe（或用鼠标双击MATLAB图标），进入MATLAB命令窗口：“Command Window”。
（2）系统开环传递函数为：
G(s)?10K0
s(0.1s?1)(Ts?1)取T=0.1，即令R?100k?，C?1?F；取K0=1，即令R1?R2?100k?，建立系统数学模型，绘制并记录其阶跃曲线。
（3）理论分析K0对稳定性的影响。保证T=0.1不变，改变K0，令K0分别等于2,3,4,5，即将可变电阻R2分别设置在200,300,400,500k?。用劳斯判据求出使系统稳定的K0值范围，并对上述各种情况分别判断稳定性。
（4）由实验验证第（3）步的理论分析结果。分别绘制相应的阶跃响应曲线，并分析K0 变化对系统稳定性的影响。键入程序：
%定义元件参数
R1=10^5; %电阻参数R1?100k? R=10^5; %电阻参数R?100k?
R2=[1,2,3,4,5]*10^5; %电阻参数R2矩阵，包含R2可取的5个数据
C1=10^(-6); %电容参数C1?1?F C2=10^(-7); %电容参数C2?0.1?F
T=[R*C1,R*C2]; %时间常数T矩阵，包含T可取的两个值 %建立系统传递函数；并绘制其阶跃响应曲线 for i=1:5
K0(i)=R2(i)/R1; %给增益K0赋值
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num=10*K0(i); %开环传递函数分子多项式模型
den=[0.1*T(1),0.1+T(1),1,0]; %开环传递函数分母多项式模型 Gopen=tf(num,den) %建立开环传递函数Gopen Gclose=feedback(Gopen,1,-1) %建立闭环传递函数Gclose figure(i) %建立第i个图形窗口
t=0:.01:10
step(Gclose,t) %求系统阶跃响应并作图
end
运行结果如图3.2-3所示。可见，K0=2时，系统临界稳定；随着K0的增加，系统将趋于不稳定。
（5）在K0=1（系统稳定）和K0=2（系统临界稳定）两种情况下，分别绘制T=0.1和T=0.01（即保持R=100kΩ不变，C分别取1μF和0.1μF）时系统的阶跃响应，分析T值变化对系统阶跃响应及稳定性的影响。键入程序：
%定义元件参数 R1=10^5; R=10^5;
R2=[1,2,3,4,5]*10^5; C1=10^(-6); C2=10^(-7); T=[R*C1,R*C2];
%取K0=1，分别绘制T=0.1和T=0.01时的阶跃响应曲线 K0=R2(1)/R1; for i=1:2
num=10*K0; %开环传递函数分子多项式模型 den=[0.1*T(i),0.1+T(i),1,0]; %开环传递函数分母多项式模型 Gopen(i)=tf(num,den) %建立开环传递函数Gopen Gclose(i)=feedback(Gopen(i),1,-1) %建立闭环传递函数Gclose
end
figure(1) %建立第1个图形窗口
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step(Gclose(1), 'r',Gclose(2), 'g') %求系统阶跃响应并作图
Step Response1.62Step Response1.41.81.61.41.21Amplitude1.20.8Amplitude10.80.60.40.60.40.20.200012345Time (sec)678910012345Time (sec)678910
Step Response1.81.61.423Step Response2.51.21.5AmplitudeAmplitude10.80.60.40.201System: GcloseTime (sec): 4.67Amplitude: 0.920.50-0.5012345Time (sec)678910-1012345Time (sec)678910
Step Response
250200150100Amplitude500-50-100-150-200012345Time (sec)678910
图3.2-3 K0取不同值时系统响应曲线
运行结果如图3.2-4所示。可见，时间常数T减少时，系统动态性能得到改善。 %取K0=2，分别绘制T=0.1和T=0.01时的阶跃响应曲线
K0=R2(2)/R1; %取K0=2，即使系统临界稳定的K0值 for i=1:2
num=10*K0; %开环传递函数分子多项式模型
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