(完整版)待定系数法求递推数列通项公式

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最全的待定系数法求递推数列通项

通过以上两个例题可知，形如an?1?的综合能力要求较高。

ran?s(pr?0)这一类型的递推数列，对学生

pan?q1、如果右边分子缺常数项，即s?0，那么直接对两边取倒数即可得： 此时，若

1q1p??? an?1ranrqq?1，那就是我们熟悉的等差数列，若?1，那就是前面的类型一——用待rr定系数法求解。

2、若s?0，就需要先变形，使左边和右边分子结构一致。两边同时加上某一个常数(x)

(r?xp)(an?s?xq)r?px

pan?q an?1?x?然后令

s?qx?x，解出x的值。 r?pxran?s变形之后为

pan?qy(an?x)

pan?q而另一种思路是直接设an?1? an?1?x?然后展开，根据对应项系数相等得二元方程组

?y?xp?r ?

x(y?q)?s?求出x,y。

两种思路都是解x的一元二次方程，设其解为x1,x2。 an?1?x1?y1(an?x1)y(a?x2)和an?1?x2?2n

p(an?q)p(an?q) 若x1?x2时，那就只能利用例题7的方法，两边取倒数，部分分式整理即可转变为类型一。

p(an?q)p(an?x1)?p(q?x1)p(q?x1)11p?????

an?1?x1y1(an?x1)y1(an?x1)y1an?x1y1第 10 页 共 12 页

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最终求出an。

当x1?x2时，可以选择其中的一个按照上面的方式进行求解，但是此时计算量颇大，于是直接将两式相比得：

an?1?x1y1an?x1 ??an?1?x2y2an?x2?an?x1?a1?x1y所以数列?，公比为1的等比数列。进一步求出an。 ?是首项为

a1?x2y2?an?x2?

ran2?s七：an?1?(pr?0,p?2r,q2?4rs?0)型

pan?qan2?3例题9.在数列?an?中，a1?2,an?1?，试求其通项an。

2an?2分析：本题属于分式非线性递推式，与类型五又有相似之处，所以我们可以结合类型五、六的思路，进行变换：

两边同时加上某个常数，设最终变为：

(an?x)2 an?1?x?

2an?2与原式比较，对应系数相等，得 x2?2x?3 解方程得 x1??1,x2?3 即有：

(an?3)2an?1?3?2an?2

(an?1)2

an?1?1?2an?2对单个式子进行处理，无从下手，两式相比得

a?3?an?3? n?1???

an?1?1?an?1?2第 11 页 共 12 页

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然后，两边取对数得：

?a?3?a?3an?3?lg?n?2lg lgn?1 ?an?1?1an?1?an?1??a?3?a?3则数列?lgn?lg5，公比为2的等比数列。 ?是首项为lg1a1?1?an?1?2 lgn?1an?3?lg52 an?1进一步解得 an?52?352n?1n?1?1?1?452n?1?1

ran2?s 显然，按照例题9的思路，形如an?1?(pr?0)这一类型的参数p、q、r、s必

pan?q须满足一定的条件，所得方程应有两个不相等的实根。 现在来探讨应该满足哪些条件？

ran2?sr(an?x)2设an?1?x?，即： ?x?pan?qpan?qran2?sr(an?x)2 ?x?pan?qpan?q所以 ran2?xpan?xq?s?ran2?2rxan?rx2 对应系数相等得 p?2r,rx2?qx?s?0 方程rx2?qx?s?0要满足??q2?4rs?0 设方程的两根为x1,x2则有

r(an?x1)2 an?1?x1?

pan?qr(an?x2)2 an?1?x2?

pan?qa?x?a?x?两式相比得 n?11??n1?

an?1?x2?an?x2?两边取对数得 lg2an?1?x1a?x?2lgn1

an?1?x2an?x2第 12 页 共 12 页

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?a?x?a?x数列?lgn1?是首项为lg11，公比为2的等比数列。

a1?x2?an?x2??a?x?求出?lgn1?的通项再整理一下就得出了?an?的通项，问题就得以解决了。

?an?x2?

本文主要是通过例题的分析讲解，并进行归纳总结概括而形成的，是我在平时的学习中，通过平时自己的一些积累和参考其他作者的思路，对用待定系数法求解递推数列的初步探讨和认识。例题的深度层层深入，前面的类型是后面的基础，特别是第一种类型，是学习其他几种类型的充分依据，其他的类型最终都会转变为第一种类型之后再进行求解。

参考文献

[1]李春雷 用不动点法探究递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2006.05期 [2]用待定系数法求解递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2007.07期 [3]例析待定系数法求解递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2009.07期