由分步乘法计数原理可得，共有C6·C4＝120(种)选法. (2)方法一 “至少有1名女运动员”包括以下四种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理可得总选法共有C4C6＋C4C6＋C4C6＋C4C6＝246(种).
方法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解. 从10人中任选5人有C10种选法，其中全是男运动员的选法有C6种.所以“至少有1名女运动员”的选法有C10－C6＝246(种). (3)方法一 (直接法)可分类求解： “只有男队长”的选法种数为C8； “只有女队长”的选法种数为C8； “男、女队长都入选”的选法种数为C8， 所以共有2C8＋C8＝196(种)选法.
方法二 (间接法)从10人中任选5人有C10种选法，
其中不选队长的方法有C8种.所以“至少有1名队长”的选法有C10－C8＝196(种). (4)当有女队长时，其他人任意选，共有C9种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C8种选法，其中不含女运动员的选法有C5种，所以不选女队长时的选法共有(C8－C5)种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C9＋C8－C5＝191(种). 思维升华组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，当用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
跟踪训练1某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C34＝561种取法， ∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C34种或者C35－C34＝C34＝5984种取法. ∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.
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(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C20C15＝2100种取法. ∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.
(4)选取2种假货有C20C15种，选取3种假货有C15种，共有选取方式C20C15＋C15＝2100＋455＝2555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种. (5)方法一 (间接法)
选取3种商品的总数为C35，选取3种假货有C15种，因此共有选取方式 C35－C15＝6545－455＝6090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种. 方法二 (直接法)
选取0种假货有C20种，选取1种假货有C15C20种，选取2种假货有C15C20种， 因此共有选取方式C20＋C15C20＋C15C20＝6090(种). ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.
题型三 排列与组合的综合问题
命题点1 相邻问题
例23名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( ) A.2B.9C.72D.36 答案 C
解析 可分两步完成：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A2种排法；第二步，3名女生排在一起有A3种排法，3名男生排在一起有A3种排法，故排法种数为A2A3A3＝72. 命题点2 相间问题
例3某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) A.72B.120C.144D.168 答案 B
解析 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A2C3A3＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A2A4＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.
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命题点3 特殊元素(位置)问题
例4(2018·浙江省金华名校统练)某公司安排五名大学生从事A，B，C，D四项工作，每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A项工作仅安排一人，甲同学不能从事B项工作，则不同的分配方案的种数为( ) A.96B.120C.132D.240 答案 C
解析 当甲选A时，共有C4C3A2＝36(种)分配方案；当甲不选A时，若B安排两人，共有C4C3A2＝24(种)分配方案，若C或D安排两人，共有C4C3C3A2＝72(种)分配方案.所以一共有36＋24＋72＝132(种)分配方案.
思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则 ①按元素(位置)的性质进行分类；
②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).
跟踪训练2(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种. 答案 36
解析 将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A2A4种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A2A3种方法.于是符合题意的摆法共有A2A4－A2A3＝36(种).
(2)(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法.(用数字作答) 答案 660
解析 方法一 只有1名女生时，先选1名女生，有C2种方法；再选3名男生，有C6种方法；然后排队长、副队长位置，有A4种方法.由分步乘法计数原理知，共有C2C6A4＝480(种)选法. 有2名女生时，再选2名男生，有C6种方法；然后排队长、副队长位置，有A4种方法.由分步乘法计数原理知，共有C6A4＝180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法.
方法二 不考虑限制条件，共有A8C6种不同的选法， 而没有女生的选法有A6C4种，
故至少有1名女生的选法有A8C6－A6C4＝840－180＝660(种).
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1.“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又可以简写为CN，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( ) A.360种B.480种C.600种D.720种 答案 C
解析 从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有C5A5＝600种，故选C. 2.(2018·浙江省十校联盟高考适应性考试)某国际会议在杭州举行，为做好服务工作，若将4名志愿者分配到主会场附近的3个路口维持交通，每个路口至少安排1名志愿者，则不同的分配方案种数为( ) A.12B.36C.72D.108 答案 B
解析 由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成：第一步，从4名志愿者中选出2名志愿者作为一组，其余2名志愿者各自为一组，共有C4种选法；第二步，将上述三组与3个路口对应，共有A3种分配方案.故不同的分配方案种数为C4A3＝36.故选B. 3.(2018·浙江省镇海中学模拟)甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有( ) A.18种B.12种C.36种D.24种 答案 D
解析 ①甲单独一人时，则甲只能去B，C两个景点中的一个，其余三人分为两组，然后分别去剩余的两个景点，则有C2C3A2＝12(种)；②甲与另外一人为一组，去B，C两个景点中的一个，其余两人分别各去一个景点，则有C3C2A2＝12(种).由分类加法计数原理可得总的方案为24种，故选D.
4.(2018·杭州七校联考)一个盒中装有黑、白、红三种颜色的卡片共10张，其中黑色卡片3张.已知从盒中任意摸出2张卡片，摸出的2张卡片中至少有1张是白色的情况有35种，则盒中红色卡片的张数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B
解析 设盒中白色卡片有x张，则C10－C10－x＝35，
∴x－19x＋70＝0，∴x＝5或x＝14(舍去)，∴红色卡片的张数为10－3－5＝2.故选B. 5.(2019·台州质检)有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是( )
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