南昌大学第六届高等数学竞赛（数学专业类06、07级）试卷试题及答案

序号： 姓名： ____ 学院: 专业： 学号： 考试日期： 2009年10月11日 题号 题分 得分 一 30 二 10 三 10 四 10 五 10 六 10 七 10 八 10 总分 100 累分人 签名 南昌大学第六届高等数学竞赛（数学专业类06/07级）试卷试题及答案

一、 填空题(每空 3 分，共 30分) 得 limy分 sin[e(x?1)(x?y)]ex2评阅人 22xy?00?y2?11、(x,y)?(0.0)limsin[ey(x?1)(x2?y2)]ex2?y2?1=1； 2、函数f(x)?(x2?x?2)|x3?x|不可导点的个数是2； 3、?arctanx11dx?arctanx?lnx?ln(1?x2)?C； = 2x2x2n?3n4、?； (x?1)n的收敛区域为[2/3 ,4/3）nn?1?5、设f(x)是连续函数，且f(x)?x?2?f(t)dt，则f(x)＝x?1 01?2z6、z?f(xy,y?x) f具有二阶连续偏导，=f1?yxf11?(y?x)f12?f22； ?x?y7、设Dt??(x,y,z)?R3x2?y2?z2?t2,t?0?，F(t)????f(x2?y2?z2)dV,其中f可微，DtF?(t)= 4?t2f(t2)； 8、设曲线C为x2?y2?z2?6与z?x4?y2的交线，则在曲线C上点（1，1，2）的切线?x?y?2z?6?0方程为?； 4x?2y?z?4?0?9、设L为取正向的圆周x2?y2?9，则曲线积分?(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy＝?18? ； L10、函数列 ?fn(x)?在(a,b)区间一致收敛的柯西准则是???0，?N?N?，对?n?N， ?p?N? ，?x?(a,b)，有fn?p(x)?fn(x)?? 第 1 页 共 5页

二、求极限limn??n(n?1)(n?2)?(n?n) n 得分 n评阅人 n1ln(1?x)dx?ln(1?i/n)/n?(n?1)(n?2)?(n?n)nlim4=e??i?1=e0= limn??en x2?21三、证明函数f(x)?2sin在任何不含原点，也不以原点为端点的区间内一致连续， xx?1在（0,1）内不一致连续 x2?21sin 在I与其端点(1)若有限区间I内不含原点，且左右端点都不为零，由f(x)?2xx?1构成的闭区间I0上连续，所以在I0一致连续，从而在I一致连续。 当I为无限区间，I?(a,??)，I?[a,??)或I?(??,?a),I?(??,?a](a?0)，由于limf(x)x???aa＝limf(x)＝0, f(x)在(??,?]及[,??)上一致连续，故在其任一子区间上一致连续。 x???22 11(2)对?0=1，???0，?x1?，x2?：x1,x2?(0,1)，x1?x2??， 2n?2n???2 f(x1)?f(x2)?1?11?x12?1??0 第 2 页 共 5页

四、设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，f(0)?f(1)?0，lim1（1）存在??(,1)，使得f(?)?? 2（2）对任意实数?，必存在??(0,?)，使得f?(?)??[f(?)??]?1 （3）f(x)在[0,1]上的最大值大于1 11f(x)?1（1）由lim?1知f()?1 令g(x)?f(x)?x，则g()?0，g(1)?0 11222x?2(x?)21 据零点定理知存在??(,1)，使得g(?)?0，即f(?)??. 2（2）令F(x)?(f(x)?x)e??x，则F(x)在[0,?]连续，在(0,?)可导，F(0)?F(?)?0 据罗尔定理，存在??(0,?)，使得F?(?)?0，即f?(?)??[f(?)??]?1 f(x)?1f(x)?1（3）由lim?1?0,及极限的保号性，在x=1/2的某邻域，?0 1112x?(x?)22(x?)22 即f(x)?1，而f(x)在[0,1]上有最大值，故f(x)在[0,1]上的最大值大于1 五、设Dt??(x,y)?R2x2?y2?t2,t?0?，f(x)在x?0的某邻域内连续且f(0)?0, F(t)???f(x2?y2)dxdy，证明： Dtf(x)?1 ?1，试证：112x?2(x?)2（1） 函数F(t)在t?0的某邻域内可导； ?11（2） ???0,级数??F?()收敛。 nn?1n 2?22t2t（1）因为F(t)???f(x?y)dxdy??d??rf(r)dr?2??rf(r2)dr，且函数rf(r2)在0的Dt000某邻域内连续，所以，F(t)在t?0的某邻域内可导。 12?1f(2) （2）因为F?(t)?2?tf(t2)，所以F?()?nnn1112?1 lim?F?()n1???lim?f(2)n1??=2?|f(0)|?0 n??nn??nnnn?11 因此，当??0时，由极限的比较判别法??F?()绝对收敛，从而级数收敛。 nn?1n 第 3 页 共 5页

六、求级数? ?1的和 nn(2n?1)2n?1??x2n?1x2n x?1 S?(x)?? x?1 S(x)??n?1n(2n?1)n?1n?xx2x2x2n?1???dx??ln(1?x2) x?1 x?1 S(x)??S(x)dx??S??(x)??2x?22001?x1?xn?1S(x)??S?(x)dx???ln(1?x2)dx=?xln(1?x2)?2x+ln(1?x)-ln(1?x) 00xx ln(1?x)ln(1?x)x2n- G(x)????ln(1?x2)+2+xxn(2n?1)n?1 ?1=G(12)=2?ln2?2ln(1?2) ?nn?1n(2n?1)2 ? ??七、设f?C([0,??))，若对任意的??0，????f(x)dx收敛，试证明对任意的a?0,b?0有 x?0f(ax)?f(bx)bdx?f(0)ln xa由题设知，对任给??0，下述反常积分是收敛的： ????????f(bx)f(x)f(ax)f(x)dx?dx ，dx?dx????xxxx?b??a?因此，由中值定理可得 ?? ????f(ax)?f(bx)dx?x??a??f(x)f(x)f(x)bdx??dx=?dx?f(?)ln ，a????b? . xxxab?a???b? ?0f(ax)?f(bx)f(ax)?f(bx)bbdx?lim?dx?limf(?)ln?f(0)ln ??0??0xxaa???第 4 页 共 5页

八、设函数?(x)在[0, ??)上存在二阶连续的导数，若lim?(x)存在，且???(x)在[0, ??)x???有界，试证：lim??(x)?0 x??? 证明：设lim?(x)=a ???(x)?M x???1? ???0, 取定h?0使得Mh?，由泰勒公式知：存在?介于x与x?h之间，使得 221?(x?h)??(x)???(x)????(?)h2，于是有 211??(x)?[?(x?h)?a??(x)?a]?Mh h2?由lim?(x)=a，对上述???0，存在X?0,当x?X时，有?(x)?a?h，从而 x???411??(x)?[?(x?h)?a??(x)?a]?Mh?? h2故lim??(x)?0 x???

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