指数函数和对数函数
重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
x难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y在?a，y?logxaa?1及0?a?1两种不同情况。 1、指数函数：
定义：函数y?ax?a?0且a?1?叫指数函数。 定义域为R，底数是常数，指数是自变量。
为什么要求函数y?ax中的a必须a?0且a?1。 因为若a?0时，y???4?x，当x?14时，函数值不存在。
a?0，y?0x，当x?0，函数值不存在。
a?1时，y?1x对一切x虽有意义，函数值恒为1，但
y?1x的反函数不存在， 因为要求函数y?ax中的
a?0且a?1。
x
1、对三个指数函数y?2x，y???1??2??，y?10x的图象的
认识。
图象特征与函数性质：
图象特征 函数性质 （1）图象都位于x轴上方； （1）x取任何实数值时，都有ax?0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a取任何正数，x?0时，y?1； （3）y?2x，y?10x在第一象限内的纵坐x（3）当a?1时，??x?0，则a?1?标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，??x?0，则ax ?1xy?? 当0?a?1时，?a?1?1??的图象正好相反； ?x?0，则x?2?? ??x?0，则ax?1 （4）y?2x，y?10x的图象自左到右逐渐（4）当a?1时，y?ax是增函数， 当0?a?1时，y?ax是减函数。
1
x?1?上升，y???的图象逐渐下降。 ?2?
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y?2x和y?10x相交于(0，1)，当x?0时，y?10x22?2?2的图象在y?2x的图象的上方，当x?0，刚好相反，故有10?2及10?2。
?1?②y?2与y???的图象关于y轴对称。
?2?xx
?1?③通过y?2x，y?10x，y???三个函数图象，可以画出任意一个函数y?ax（a?0且a?1）的
?2?xx?1?示意图，如y?3的图象，一定位于y?2和y?10两个图象的中间，且过点(0，1)，从而y????3?xxxx也由
?1?关于y轴的对称性，可得y???的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
?3?
2、对数：
定义：如果ab?N(a?0且a?1)，那么数b就叫做以a为底的对数，记作b?logN（a是底数，N 是a真数，logaN是对数式。）
b由于N?a故logaN中N必须大于0。 ?0当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： ?52?log? 求0.32??4??52???x，再改写为指数式就分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log0.32?4??
比较好办。
?52?log??x 解：设0.32??4?
2
则0.32x?x524?12
?8?即???25?∴x???8?????25?
12?52?1即log0.32????2?4? 评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。
如求3x?5中的x，化为对数式x?log35即成。
（2）对数恒等式：
b由a ?N(1)b?logN(2)a将（2）代入（1）得alogaN?N
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算：
??3?log123 ?1?????3?log13
解：原式?31?log12232?2。
（3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则：
?①l ogMN?logM?logNM，N?R????aaaog②laM??logM?logNM，N?R aaN??n?③l ogN?nlogNN?R????aanogN?logNN?R④l?? aa?1n3、对数函数：
定义：指数函数y?a(a?0且a?1)的反函数
x(0,??)叫做对数函数。 y?logxx?a
?logx，y?logx，1、对三个对数函数y 212
y?lgx的图象的认识。
图象特征与函数性质：
3
图象特征 （1）图象都位于 y轴右侧； （2）图象都过点（1，0）； +函数性质 （1）定义域：R，值或：R； （2）x?1时，y?0。即log1?0； a（3）当a?1时，若x?1，则y?0，若，则y?0； 0?x?1时，若x?0，则y?0，若?a?1在x轴上方，当0时，图象在x轴下当0?x?0时，则y?0； 0?x?1方，y?logx与上述情况刚好相反； （3）y?logx，y?lgx当x?1时，图象212gx是增函数； （4）y从左向右图象是上（4）a?1时，y?lo?logx，y?lgxa2升，而y?log1x从左向右图象是下降。 2时，y?lo0?a?1gx是减函数。 a对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：
（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y?lo（1,0）曲线是交叉的，即当x?0gx与y?lgx在点2时，y?lo时，y?lo?x?1gx的图象在y?lgx的图象上方；而0gx的图象在y?lgx的图象的下方，22故有：l；l。 og1.5?lg.15og0.1?lg.0122
（2）y?logx的图象与y?log1x的图象关于x 轴对称。 22（3）通过y?logx，y?lgx，y?log1x三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如22作y?lo它一定位于y?lo且过点（1,0），x?0时，在y?lgxgx的图象，gx和y?lgx两个图象的中间，32的上方，而位于y?lo时，刚好相反，则对称性，可知y?log1x的示意图。 ?x?1gx的下方，023
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式：
logNalogN?blogba
LN?logN(其中e?2.71828…)称为的N自然对数neLN?logN称为常数对数g10
由换底公式可得：
lgNlgN LN???2.303lgNnlge0.4343由换底公式推出一些常用的结论：
ogb?（1）la或logb·loga?1 ablogab1
（2）logabnm?mnlogab
oglogb（3）lnb?a a
4
n
（4）logmanam?n
5、指数方程与对数方程* 定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法：
名称 题型 解法 基本型 同底数型 af?x??b 取以a为底的对数f?x??logab 不同底数型 af(x)?a?(x) 需代换型 取以a为底的对数f?x????x? af?x??b??x? 取同底的对数化为fx??·lga????x·lgb F?ax??0 换元令t?ax转化为t的代数方程 对数方程的题型与解法：
名称 题型 解法 基本题 logaf?x??b 对数式转化为指数式f?x??ab 同底数型 logaf??x?loga???x 转化为f?x????x?（必须验根） 需代换型 F(logax)?0 换元令t?logax转化为代数方程
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