北师大版高考数学(文)大一轮复习---第八章 8.5--(附答案)

因为OM平面BDD1B1，所以OM⊥AC.

设正方体的棱长为2，

则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，

ON＝1＋4＝5，

所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.

6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( )

A．MN∥AB

B．平面VAC⊥平面VBC C．MN与BC所成的角为45° D．OC⊥平面VAC 答案 B

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解析 由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.

题型一 直线与平面垂直的判定与性质

典例 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

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证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE.

证明 (1)在四棱锥P—ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD.

又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，

∴CD⊥平面PAC.

而AE平面PAC，∴CD⊥AE.

(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD平面PCD，实用文档

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∴AE⊥平面PCD，

而PD平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，

∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE平面ABE，

∴PD⊥平面ABE.

思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

跟踪训练 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

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