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tanC。sinA?BCA?BC?cos,cos?sin； 2222（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r为三角形内切圆半径，p为周长之半。
（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠
B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。 四．【典例解析】 题型1：正、余弦定理
uuurruuurrrr15（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC中，AB?a，AC?b，a?b?0，S?ABC?，
4rra?3,b?5，则?BAC? （ ）
A.． 30 B ．?150 C．150 D． 30或150 答案 C
例1．（1）在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形；
（2）在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。
例2．（1）在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?600，求b及A； （2）在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形 解析：（1）∵b2?a2?c2?2accosB
=(23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos450 =12?(6?2)2?43(3?1) =8 ∴b?22.
.....
oo0o0.
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b2?c2?a2(22)2?(6?2)2?(23)21??, ∴A?600. 解法一：∵cosA?2bc22?22?(6?2)（2）由余弦定理的推论得：
b2?c2?a287.82?161.72?134.62cosA??0.5543, ?2bc2?87.8?161.7A?56020?；
c2?a2?b2134.62?161.72?87.82cosB? ?0.8398, ?2ca2?134.6?161.7B?32053?；
??90047.? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)例3．在?ABC中，sinA?cosA?的面积。
2，AC?2，AB?3，求tanA的值和?ABC2?sinA?cosA?2cos(A?45?)?
?cos(A?45?)?1.2oo2,2
??又0?A?180, ?A?45?60,A?105.
o?tanA?tan(45o?60o)?1?3??2?3, 1?3????? sinA?sin105?sin(45?60)?sin45cos60?cos45sin60???2?6. 4 S?ABC?
112?63AC?ABsinA??2?3??(2?6)。 2244AC的值等于 ， cosA例4．（2009湖南卷文）在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则
AC的取值范围为 .
答案 2(2,3)
解析 设?A??,?B?2?.由正弦定理得
ACBCACAC?,??1??2.
sin2?sin?2cos?cos?.....
.
由锐角?ABC得0?2??90?0???45，
ooooo又0?180?3??90?30???60，故30???45?oooooo23?cos??， 22?AC?2cos??(2,3).
例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，
ruuurA25uuu且满足cos?，AB?AC?3．
25（I）求?ABC的面积； （II）若b?c?6，求a的值．
uuuruuurA25342A解 （1）因为cos?，又由AB?AC?3 ?cosA?2cos?1?,sinA?，
25255得bccosA?3,?bc?5，?S?ABC?1bcsinA?2 2（2）对于bc?5，又b?c?6，?b?5,c?1或b?1,c?5，由余弦定理得
a2?b2?c2?2bccosA?20，?a?25
例6．（2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知
a2?c2?2b，且sinAcosC?3cosAsinC, 求b
解法一：在?ABC中QsinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理
a2?b2?c2b2?c2?a2?3gc,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知有:ag2ab2bca2?c2?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍）.
例7．?ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA?2cos大值，并求出这个最大值。
B+CπAB+CA
解析：由A+B+C=π，得= －，所以有cos =sin。
22222B+CAAAA13
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin － )2+ ；
2222222πA1B+C3
当sin = ，即A= 时, cosA+2cos取得最大值为。
22322
例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，
B?C取得最2.....
.
ruuurA25uuu且满足cos?，AB?AC?3．
25（I）求?ABC的面积； （II）若c?1，求a的值． 解（Ⅰ）cosA?2cos2A2523?1?2?()?1? 2552又A?(0,?)，sinA?1?cosA?以bc?5，所以?ABC的面积为：
43，而AB.AC?AB.AC.cosA?bc?3，所55114bcsinA??5??2 225（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc?5，而c?1，所以b?5 所以a?b2?c2?2bccosA?
例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及
25?1?2?3?25
bsinB的值。 c∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。 又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。
b2?c2?a2bc1在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。
2bc2bc2bsinA在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，
a3bsinBb2sin60?∴=sin60°=。 ?2cac例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tanACAC?tan?3tantan2222的值。
解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，
从而
A?CA?C＝60°，故tan?3.由两角和的正切公式， 22AC?tan22?3。 得
AC1?tantan22tan所以tanACAC?tan?3?3tantan, 2222tanACAC?tan?3tantan?3。 2222.....
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