2007年全国高中数学联赛试题及解答

A

E

FP

O2 O1

DCB

二、（本题满分50分） 如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。

三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，

5k)=??mi?1??k?1??，其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈Pi?1?和正整数m，使得f(m，k)=n。

2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案

一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB

AAD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作

PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为F。O1、O2分E别是△BDF、△CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四FP点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。 证明：连结BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因为PD⊥BC，O2PF⊥AB，故B、D、P、F四点共圆，且BP为该圆的直O1径。又因为O1是△BDF的外心，故O1在BP上且是BP

DB'C的中点。同理可证C、D、P、E四点共圆，且O2是的BCP中点。综合以上知O1O2∥BC，所以∠PO2O1=∠PCB。因为AF·AB=AP·AD=AE·AC，所以B、C、E、F四点共圆。

充分性：设P是△ABC的垂心，由于PE⊥AC，PF⊥AB，所以B、O1、P、E四点共线，C、O2、P、F四点共线，∠FO2O1=∠FCB=∠FEB=∠FEO1，故O1、O2、E、F四点共圆。 必要性：设O1、O2、E、F四点共圆，故∠O1O2E+∠EFO1=180°。

由于∠PO2O1=∠PCB=∠ACB?∠ACP，又因为O2是直角△CEP的斜边中点，也就是△CEP的外心，所以∠PO2E=2∠ACP。因为O1是直角△BFP的斜边中点，也就是△BFP的外心，从而∠PFO1=90°?∠BFO1=90°?∠ABP。因为B、C、E、F四点共圆，所以∠AFE=∠ACB，∠PFE=90°?∠ACB。于是，由∠O1O2E+∠EFO1=180°得

(∠ACB?∠ACP)+2∠ACP+(90°?∠ABP)+(90°?∠ACB)=180°，即∠ABP=∠ACP。又因为AB

解：最少要取出11个棋子，才可能满足要求。其原因如下： 如果一个方格在第i行第j列，则记这个方格为(i，j)。

第一步证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。用反证法。假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠。如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子。这样，10个被取

出的棋子不会分布在右下角的阴影部分。同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分。第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格。同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子。在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、(5，8)所在区域内至少取出3个棋子。这样，在这些区域内至少已取出了10个棋子。因此，在中心阴影区域内不能取出棋子。由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了。矛盾。

图1 图2

第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠。如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠。

综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠。 三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记

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f(m，k)=??mi?1??k?1?其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P?，

i?1?和正整数m，使得f(m，k)=n。

证明：定义集合A={mk?1|m∈N*，k∈P}，其中N*为正整数集。由于对任意k、i∈P且k≠i，

k?1i?1是无理数，则对任意的k1、k2∈P和正整数m1、m2，m1k1?1?m2k2?1当

且仅当m1=m2，k1=k2。由于A是一个无穷集，现将A中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n，设此数列中第n项为mk?1。下面确定n与m、k的关系。若m1i?1?mk?1，则m1?m?满足这个条件的m1的个数为?m?k?1i?1。由m1是正整数可知，对i=1，2，3，4，5，

??m?k?1??=f(m，k)。因此对任意i?1?5k?1??。从而n=?i?1?i?1n∈N*，存在m∈N*，k∈P，使得f(m，k)=n。