直角三角形的判定定理“HL”

第2课时 直角三角形的判定定理“HL”

(参考用时:30分钟)

(2)△OBC是何种三角形?证明你的结论. (1)证明:在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,

AC=BD,BC=CB.所以Rt△ABC≌Rt△DCB(HL). (2)解:△OBC是等腰三角形.

因为Rt△ABC≌Rt△DCB,所以∠ACB=∠DBC, 所以OB=OC,所以△OBC是等腰三角形. 7. 如图,已知Rt△ABC中,∠

ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性.

1. 如图所示,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件:

①∠ABC=∠ABD;②AC=AD; ③BC=BD;④∠BAC=∠BAD. 适合的有( B ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2. 如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD和CE交于O,AO的延长线交BC于F,则图中全等的直角三角形有( D ) (A)3对 (B)4对 (C)5对 (D)6对 3. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是经过A点的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,CE=2,BD=6,则DE的长为( D )

(A)2 (B)3 (C)5 (D)4 4.已知:如图,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为

E,F,AE=DF,AB=DC,则△ ABE ≌△ DCF (HL).

第4题图

5.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7, AD=EB,DE=EC,则AB= 7 .

第5题图 6. 如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.

解:猜想:BF⊥AE.

理由:因为∠ACB=90°,所以∠ACE=∠BCD=90°.

又BC=AC,BD=AE,所以△BDC≌△AEC(HL). 所以∠CBD=∠CAE.

又因为∠CAE+∠E=90°,所以∠EBF+∠E=90°.

所以∠BFE=90°,即BF⊥AE.

8.(1)如图1,点A,E,F,C在一条直线

上,AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD,试证明BD平分线段EF;

(2)若将图1变为图2,其余条件不变时,上述结论是否仍然成立?请说明理由.

(1)求证:△ABC≌△DCB;

(1)证明:因为DE⊥AC,BF⊥AC, 所以∠DEC=∠BFA=90°. 因为AE=CF,

所以AE+EF=CF+EF,

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所以AF=CE.

在Rt△ABF和Rt△CDE中, 因为AB=CD,AF=CE,

所以Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). 所以BF=DE.

在△BFG和△DEG中,

因为∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE,BF=DE, 所以△BFG≌△DEG(AAS).

所以FG=EG,即BD平分线段EF. (2)解:结论仍然成立,理由如下: 因为AE=CF, 所以AF=CE.

因为BF⊥AC,DE⊥AC,AB=CD, Rt△ABF≌Rt△CDE. 所以BF=DE.

易证△BFG≌△DEG,

所以FG=EG,即结论仍然成立.

(2)如图②,在△ABC和△DEF

中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是钝角.求证:△ABC≌△DEF.

第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.

(3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角.请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)

(4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?请直接填写结论:在△ABC的△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,若 ,则△ABC≌△DEF. 解:(1)HL.

(2)证明:如图①,分别过点C,F作对边AB,DE上的高CG,FH,其中G,H为垂足. 因为∠ABC,∠DEF都是钝角,

所以G,H分别在AB,DE的延长线上. 因为CG⊥AG,FH⊥DH,

9.(拓展探究题)【问题提出】 学习了三角形所以∠CGA=∠FHD=90°. 全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”因为∠CBG=180°-∠ABC, “SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即∠FEH=∠180°-∠DEF,∠ABC=∠DEF, “HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两所以∠CBG=∠FEH. 边和其中一边的对角对应相等”的情形进行在△BCG和△EFH中, 研究. 因为∠CGB=∠FHE,∠CBG=∠FEH,BC=EF, 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表所以△BCG≌△EFH. 示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠所以CG=FH. B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是又因为AC=DF. 直角、钝角、锐角”三种情况进行探究. 所以Rt△ACG≌△DFH.

所以∠A=∠D.

在△ABC和△DEF中,因为∠ABC=∠DEF, ∠A=∠D,AC=DF, 所以△ABC≌△DEF.

【深入探究】第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.

(1)如图①,在△ABC和△DEF

中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据 ,可以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF.

第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.

(3)如图②,△DEF就是所求作的三角形,△DEF和△ABC不全等.

(4)本题答案不唯一,如∠B≥∠A.

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