解答： 解：an+=an+
令（n﹣1）d=m，
22
2
=an+
22
an+
2
2
=（a1+2m）+（a1+m）
2
22
=2a1+6ma1+5m =5（m﹣当m=
）+2a1﹣时，取到最小值
，即n=
2
2
2
，
即（n﹣1）d=
2
，
∵不等式an+∴m
．
≥ma1对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，
∴实数m的最大值为． 故答案为：．
点评： 本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．
二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB﹣（2c﹣b）cosA=0． （1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．
考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 解三角形．
分析： （1）由正弦定理化简已知等式可得sinC（1﹣2cosA）=0，结合范围0＜C＜π，可
得，又结合0＜A＜π，即可求得A的值．
2
2
（2）由已知及余弦定理4=b+c﹣bc≥bc，可得bc≤4，当且仅当b=c=4时，取“=”，由三角形面积公式即可得解．
解答： （本小题满分14分） 解：（1）因为acosB﹣（2c﹣b）cosA=0，
由正弦定理得：sinAcosB﹣（2sinC﹣sinB）cosA=0， 所以可得：sinC（1﹣2cosA）=0．…（2分） 因为0＜C＜π，所以sinC＞0，…（4分） 所以
，又0＜A＜π，所以
2
2
2
．…（7分）
（2）由余弦定理得a=b+c﹣2bccosA，
22
所以4=b+c﹣bc≥bc，所以bc≤4，
当且仅当b=c=4时，上式取“=”，…（10分） 所以△ABC面积为
，
所以△ABC面积的最大值为．…（14分）
点评： 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查． 16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，若点E，F分别是PC，BD的中点． （1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAD⊥平面PCD．
考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 证明题；空间位置关系与距离．
分析： （1）利用三角形中位线的性质，可得线线平行，证明EFGH为平行四边形，可得EF∥GH，进而可得线面平行；
（2）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可． 解答： 证明：（1）设PD中点为H，AD中点为G，连结FG，GH，HE， ∵G为AD中点，F为BD中点，
∴GF∥AB且EF=同理EH∥CD且EF=
， ，
∵ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB=CD， ∴GF∥EH，GF=EH，
∴EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，
又∵GH?面PAD，EF?面PAD，∴EF∥面PAD． （2）∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD， 又∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD， ∴CD⊥面PAD
又∵CD?面PCD，∴面PAD⊥面PCD．
点评： 本题考查线面平行、面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 17．（14分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求： （1）顶点C的坐标； （2）直线BC的方程．
考点： 直线的一般式方程． 专题： 直线与圆．
分析： （1）设C（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；
（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出． 解答： 解：（1）设C（m，n），
∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．
∴，解得．
∴C（4，3）． （2）设B（a，b），则∴B（﹣1，﹣3）． ∴kBC=
=
，解得
．
∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．
点评： 本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题． 18．（16分）某工厂年初用49万元购买一台新设备，第一年设备维修及原料消耗的总费用6万元，以后每年都增加2万元，新设备每年可给工厂创造收益25万元． （1）工厂第几年开始获利？
（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均收益最大时，以14万元出售该设备；②总收益最大时，以9万元出售该设备．问出售该设备后，哪种方案年平均收益较大？
考点： 数列与函数的综合；函数模型的选择与应用．
专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
分析： （1）判断费用是以6为首项，2为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n）．求出通项公式，利用f（n）＞0，列出不等式，求解即可．
（2）方案①：列出年平均收入利用基本不等式求出最值；方案②：利用数列的函数的特征，通过二次函数求解最值即可． 解答： （本题满分16分） 解：（1）由题设，每年费用是以6为首项，2为公差的等差数列， 设第n年时累计的纯收入为f（n）．
2
∴f（n）=25n﹣﹣49=﹣n+20n﹣49，…（3分）
22
获利即为：f（n）＞0∴﹣n+20n﹣49＞0，即n﹣20n+49＜0 ?10﹣，又n∈N，∴n=3，4，5，…，17． …6 分 ∴当n=3时，即第3年开始获利；…（7分） （2）方案①：年平均收入出售该设备后，年平均收益为方案②：f（n）=﹣（n﹣10）+51， ∴当n=10时，f（n）max=51， 出售该设备后，年平均收益为
（万元），…15 分
2
（万元），此时n=7，
（万元）；…11 分
故第一种方案年平均收益较大． …16 分
点评： 本题考查数列与函数的综合应用，基本不等式求解最值，武承嗣的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．
19．（16分）已知圆O：x+y=4，直线l：y=kx﹣4． （1）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB=
时，求k的值．
2
2
（2）若k=1，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，问：直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．
22
（3）若EF、GH为圆O：x+y=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值．
考点： 直线和圆的方程的应用． 专题： 直线与圆．
分析： （1）求出点O到l的距离，然后求解k即可．
（2）设P（t，t﹣4）．其方程为：x（x﹣t）+y（y﹣t+4）=0，利用C、D在圆O：x+y=4上，求出CD方程，利用直线系求解即可．
（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2．通过积表达式，然后求解最值． 解答： （本题满分16分） 解：（1）∵∠AOB=
，∴点O到l的距离
…2 分
，求出面
22
∴=?2?…4 分
（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，t﹣4）． 其方程为：x（x﹣t）+y（y﹣t+4）=0
22
即 x﹣tx+y﹣（t﹣4）y=0，…6 分
22
又C、D在圆O：x+y=4上，
∴lCD：tx+（t﹣4）y﹣4=0即 （x+y）t﹣4y﹣4=0…8 分 由
得
∴直线CD过定点（1，﹣1）…10 分
（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2． 则∴∴当且仅当
即
时，取“=”，…14 分
，…12 分
，
，
∴四边形EGFH的面积的最大值为5．…16 分 点评： 本题考查直线与圆的方程的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．
20．（16分）已知数列{an}满足：a1=，a2=，2an=an+1+an﹣1（n≥2，n∈N），数列{bn}满足：b1＜0，3bn﹣bn﹣1=n（n≥2，n∈R），数列{bn}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求证：数列{bn﹣an}为等比数列； （Ⅱ）求证：数列{bn}为递增数列；
（Ⅲ）若当且仅当n=3时，Sn取得最小值，求b1的取值范围．
考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．
?
分析： （Ⅰ）由已知得{an}是等差数列，an+1=
公比的等比数列． （Ⅱ）由
1=
，bn+1﹣为首项，以为
=
．由此能证明{bn﹣an}是以
．得当n≥2时，bn﹣bn﹣
．由此能证明{bn}是单调递增数列．
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