阿波罗尼斯圆性质及其应用
背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,她对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在她的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是她的研究成果之一
(人教A版1２4页Ｂ组第３题)已知点M与两个定点Ｏ(０,０),Ａ(3,0)点距离的比为,求点M的轨迹方程、
(人教Ａ版１４4页B组第２题)已知点Ｍ与两个定点个正数ｍ,求点Ｍ的轨迹方程,并讲明轨迹是什么图形(考虑m=1与m
)。
距离的比是一
公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Ａpolｌonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下著名结果:到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆、(定值为1时是直线,定值不是1时为圆)
定义:一般的平面内到两顶点A,B距离之比为常数(称为阿波罗尼斯圆 类型一:求轨迹方程
１、已知点与两个定点,的距离的比为,求点的轨迹方程 2、已知,,试分析点的轨迹
3、(２006年高考四川卷第6题)已知两定点Ａ(－2,０),Ｂ(1,0),假如动点P满足条件
,则点Ｐ的轨迹所包围的图形面积等于( )
C、
Ｄ、９
)的点的轨迹为圆,此圆
Ａ、 B、
类型二:求三角形面积的最值
4、(20０8江苏卷)满足条件AB ? ２,ＡC ? 5、(２０1１浙江温州高三模拟)在等腰＝3,则
BＣ的?AＢＣ的面积的最大值是
ABC中,AＢ=AC,Ｄ为AC的中点,BD
ABC面积的最大值为
６、在AＢC中,AC=2,AＢ=mBC(ｍ〉１),恰好当Ｂ＝时AＢC面积的最大,m
＝
类型三:定点定值问题 7、 已知圆Ｏ:
,点B(-5,0),在直线OB上存在定点A(不同于点B),满
足关于圆O上任意一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点Ａ的坐标,并求
8、(20１４湖北文科卷1７题)已知圆O:B(b,0)(b
)与常数
＝ ,
,点Ａ(—２、０),若定点
:对圆Ｏ上任意一点Ｍ,都有
类型四:阿波罗尼斯圆的性质 ９、 已知圆C:动点,则
PO＋PB的最小值为
=2
类型五:阿波罗尼斯圆的应用
阿波罗尼斯圆与向量(阿氏圆＋等与线)
11、已知若
恒成立,则
+
,设
,
,若集合其中P为圆C上的
10、已知函数
的最大值为
12、(2018、１湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷1７题)、设点是所在平面内动点,满足,(),、若,则的面积最大值是 、 ?
阿波罗尼斯圆与三角形
13、(2０18、５月宁波模拟16题)已知向量ａ,b满足
恒成立,则实数的取值范围为
14、(201８、4月杭州市第二次高考科目教学质量检测17题)在中,
恒成立,求
的最大值 ABC
,若
１5、在中,、分不为中线,若,则的取值范围 、
阿波罗尼斯圆与几何体
１6、(2014二模(理))在等腰梯形中,、分不为底边的中点,把四边形沿直线折起后所在平面记为,,设与所成的角分不为,(,均不为０),,则点的轨迹为 、 A、直线 Ｂ、圆 C、椭圆 Ｄ、抛物线 １７、在四面体中,已知,,,且,则的最大值为 、
１８、(２0１８、５月浙江高三五校联考17题)棱长为3６的正四面体AＢＣＤ的内切球上有一个动点Ｍ,则MB＋练习:
1. 已知向量,,若恒成立,则实数的取值范围为 、
2. (２０1５湖北理科卷１4题)如图,圆与轴相切与点,与轴正半轴交于两点(在A的上方),
（1）圆Ｃ的标准方程为 、 过点任作一条直线与圆相较于两点,下列三个结论: ?;?;?
其中正确结论的序号是 、(写出所有正确结论的序号)
3. 为等腰直角三角形,,,为中点,将沿翻折到位置,且为直二面角,为空间中一个动点、 （1）若,且,求面积的最大值;
（2）在三棱锥表面上,为中点,、为线段两个三等分点,、为空间中的两个动点,,且,求的最小值。 ? S M A N
C
E
B
的最小值
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