三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．若关于x的方程x2?(a?3)x?a?2?0有两个不相等的整数根，求a的值。 【解答】设x1，x2是方程两个不相等的整数根，则x1?x2?a?3，x1x2?a?2。 ∴ a?3，a?2均为整数。因此，a为整数。 …………………… 5分 ∴ △?(a?3)2?4(a?2)?a2?10a?17?(a?5)2?8为完全平方数。 设(a?5)2?8?t2（t为整数，且t?0）。
则(a?5)2?t2?8。于是，(a?5?t)(a?5?t)?8。 …………………… 10分 由于a?5?t，a?5?t奇偶性相同，且a?5?t?a?5?t。
?a?5?t??4?a?5?t?2∴ ?或?。
a?5?t??2a?5?t?4???a?2?a?8解得?或?。 …………………………… 15分
t?1t?1??经检验a?2，a?8符合要求。
∴ a?2或a?8。 ………………………… 20分 另解：设m，n（m?n）是方程两个不相等的整数根。
2??m?(a?3)m?a?2?0LLL则?2??n?(a?3)n?a?2?0LLL①②。
两式相减，得(m?n)(m?n)?(a?3)(m?n)?0。
由m?n，得m?n?a?3，a?m?n?3。 …………………… 5分 将a?m?n?3代入①，得mn?m?n?1?0。
∴ (m?1)(n?1)?2。 …………………… 10分
?m?1??2?m?1?1由于m，n为整数，且m?n，因此，?或?。
?n?1??1?n?1?2?m??1?m?2∴ ?或?。 …………………………… 15分
n?3n?0???m?2?m??1当?时，a?m?n?3?2；?时，a?m?n?3?8。
n?3n?0??∴ a?2或a?8。 ………………………… 20分
6
12．如图，H为△ABC的垂心，圆O为△ABC的外接圆。点E、F为以C为圆心、CH长为半径的圆与圆O的交点，D为线段EF的垂直平分线与圆O的交点。
求证：（1）AC垂直平分线段HE；
（2）DE?AB。
【解答】（1）解法一： 如图，连结AH，AE，EC。
由H为△ABC的垂心知，?AHC??ABC?180?。 由A、B、C、E四点共圆，得?AEC??ABC?180?。 ∴ ?AEC??AHC。 …………… 5分 又CH?CE，?CEH??CHE， ∴ ?AEH??AHE，AE?AH。
∴ AC垂直平分线段HE。…………………… 10分 解法二：
作点H关于直线AC的对称点G。连结AH，AG，GC。则CG?CH，点G在以C为圆心、CH长为半径的圆上。 …………………… 5分
又?AGC??AHC，H为△ABC的垂心，
∴ ?AGC??AHC?180???ABC，A、G、C、B四点共圆。因此，点G也在圆O上。
∴ E、G两点重合。
BFDOHCAE（第12题）
ADOBFHCEA(G)DOBFHEC因此，E、H关于直线AC对称，即AC垂直平分线段HE。…………… 10分 （2） 连结CF，BH。依题意有CE?CH?CF。结合D为线段EF的垂直平分线与圆O的交点，知CD为圆O的直径。
∴ DA?AC。
又由（1），以及H为△ABC的垂心知，HE?AC，
ADOBFHCEBH?AC。因此，B、H、E三点共线。
∴ BE?AC。 …………………… 15分 ∴ ?DCE?90???。CDE?90???CBE??A CB?AE??AD。B ∴ D∴ DE?AB。 …………………… 20分
或：通过△DAE≌△ADB，证明DE?AB。或通过证明四边形ADBE等腰梯形，证明
DE?AB。
7
13．对于整数n?3，用?(n)表示所有小于n的素数的乘积。求满足条件?(n)?22n?32的所有正整数n。
【解答】解法一：若n?11，则11整除?(n)，但11不能整除22n?32。
因此，n?11不符合要求。故，n?11。 ……………………………… 10分 若7?n?11，则?(n)?2?3?5?7?210，由210?22n?32，得n?11。………… 15分 若5?6?7，则?(n)?2?3?5?30，由30?22n?32，得正整数n不存在。 若3?n?5，则?(n)?2?3?6，由6?22n?32，得正整数n不存在。 若n?3，则?(n)?2，由2?22n?32，得正整数n不存在。
∴ 满足条件的正整数n只有1个，n?11。 ………………… 20分
解法二：由?(n)?22n?32，得?(n)?1024?22(n?48)。
由于?(n)是偶数，但不是4的倍数，因此，n?48是奇数。 ……………… 5分 若n?48?3，则n?48含有奇数的素数因子p，即p为奇素数，且p整除n?48。 由n?48?n知，p整除?(n)。由此p整除1024，矛盾。
故，n?48?3，即n?49，且n为奇数。 …………………… 10分 ∵ n?49时，22n?32?22?49?32?1046， ∴ ?(n)?104。6
又2?3?5?7?210，2?3?5?7?11?210?11?1046。
∴ n?11。即n?3，5，7，9，11。 ………………… 15分 将n?3，5，7，9，11分别代入?(n)?22n?32验证，
n?3时，?(3)?2，22n?32?34，不符合要求。 n?5时，?(5)?2?3?6，22n?32?78，不符合要求。 n?7时，?(7)?2?3?5?30，22n?32?122，不符合要求。 n?9时，?(9)?2?3?5?7?210，22n?32?166，不符合要求。 n?11时，?(11)?2?3?5?7?210，22n?32?210，符合要求。
∴ 满足条件的正整数n只有1个，n?11。 ………………… 20分
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14．在一个m?n（m行，n列，m?1）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得： （1）每一列所填的数都是1，2，3，…，m的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，
m这m个数出现且仅出现1次）
（2）每一行n个的数和都是34。
当上述的填数方式存在时，求(m，n)的所有可能取值。 【解答】依题意，每列m个数的和为1?2?3?L?m?的和为34。
所以，
m(m?1)?n?34m，(m?1)n?68?22?17。 …………………… 5分 2m(m?1)，共n列。又每行m个数2又m?1。所以，(m，n)?(67，1)，(33，2)，(16，4)，(3，17)。
当(m，n)?(67，1)时，每一行1个数的和互不相同，与（2）矛盾，即符合条件的填数方式不存在。舍去。
记aij为第i行，第j列所填写的数。
当(m，n)?(33，2)时，令ai1?i，ai2?34?i。
即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，33；第2列自上而下各行所填的数依次为33，32，31，…，1时，符合要求。 ……………………… 10分
当(m，n)?(16，4)时，令ai1?i，ai2?17?i，ai3?i，ai4?17?i。
即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，16；第2列自上而下各行所填的数依次为16，15，14，…，1；第3列同第1列；第4列同第2列时，符合要求。
……………………… 15分 当(m，n)?(3，17)时， 填写方式如下： 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 符合要求。
所以，符合题意的填数方式存在时，(m，n)的所有可能取值有3种，分别为：
(m，n)?(33，2)，(16，4)，(3，17)。 ……………………………… 20分
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