山西省长治市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(3)含解析

所以h(t)min??5a?1，

6?2a??5a?1… ， 根据条件，只要?6?2a?0?所以a??【点睛】

本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.

18．2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，…，[70,80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．

5. 3

（1）现从年龄在[20,30)，[30,40)，[40,50)内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用X表示年龄在[30,40)）内的人数，求X的分布列和数学期望；

（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在[30,50)的概率为P(X?k)(k?0,1,2,L,20)．当P(X?k)最大时，求k的值．

3 4【答案】（1）分布列见解析,EX?（1）7 【解析】 【分析】

（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；X的可能取值为0，1，1，由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.

（1）先求得年龄在[30,50)内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出

k25?kP(X?k)?Ck，令t?20(0.35)(1?0.35)P(X?k)，化简后可证明其单调性及取得最大值时k的

P(X?k?1)值．

【详解】

（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，

0.005?8?1人，

0.005?0.010?0.0250.010?8?2人． 年龄在[30,40)内的人数为

0.005?0.010?0.0250.025?8?5人． 年龄在[40,50)内的人数为

0.005?0.010?0.025年龄在[20,30)的人数为所以X的可能取值为0，1，1．

C63C205?， 所以P(X?0)?C8314C62C2115P(X?1)??， 3C828C61C223P(X?2)??，

C8328所以X的分市列为

X 0 1 1 P 5 1415 283 28EX?0?51533?1??2??． 1428284（1）设在抽取的10名市民中，年龄在[30,50)内的人数为X，X服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在[30,50)内的频率为(0.010?0.025)?10?0.35， 所以X~B(20,0,35)，

kk25?k(k?0.1.2,L.20)． 所以P(X?k)?C20(0.35)(1?0.35)k20?kP(X?k)Ck7(21?k)20(0.35)(1?0.35)t???(k?0.1.2,L,20)， 设k?1k?121?kP(X?k?1)C20(0.35)(1?0.35)13k若t?1，则k?7.35，P(X若t?1，则k?7.35，P(X?k?1)?P(X?k)； ?k?1)?P(X?k)．

所以当k?7时，P(X?k)最大，即当P(X?k)最大时，k?7． 【点睛】

本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题. 19．设等差数列?an?满足a3??9，a10?5.

（1）求数列?an?的通项公式；

（2）求?an?的前n项和Sn及使得Sn最小的n的值.

2【答案】（1）an?2n?15（2）Sn?(n?7)?49；n?7时，Sn取得最小值

【解析】 【分析】

（1）设等差数列?an?的公差为d，由an?a1?(n?1)d，结合已知，联立方程组，即可求得答案.

22（2）由（1）知Sn?n?14n，故可得Sn?(n?7)?49，即可求得答案.

【详解】

（1）设等差数列?an?的公差为d，由an?a1?(n?1)d及a3??9，a10?5

?a1?2d??9 得?a?9d?5?1解得??a1??13

?d?2数列?an?的通项公式为an?2n?15

2（2）由（1）知Sn?n?14n

QSn?(n?7)2?49

?n?7时，Sn取得最小值.

【点睛】

本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前n项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

1?x?cos???220．已知曲线M的参数方程为?（?为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立

1?y?sin??2?极坐标系，曲线N的极坐标方程为??（1）写出曲线M的极坐标方程；

（2）点A是曲线N上的一点，试判断点A与曲线M的位置关系． 【答案】（1）??【解析】 【分析】

（1）先消参化曲线M的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；

2．

2?sin2?1（2）点A在曲线M外． 2（2）由点A是曲线N上的一点,利用sin2?的范围判断?的范围,即可判断位置关系. 【详解】

1?x?cos???1222（1）由曲线M的参数方程为?可得曲线M的普通方程为x?y?,则曲线M的极坐标方

4?y?1sin??2?程为??211,即??

24（2）由题,点A是曲线N上的一点,

?2???sin2???1,1因为??,所以?3,2?,即??1,

2??所以点A在曲线M外. 【点睛】

本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.

a21．已知数列?an?为公差为d的等差数列，d?0，a4?4，且a1，a3，a9依次成等比数列，bn?2n.

（1）求数列?bn?的前n项和Sn； （2）若cn?2bn，求数列?cn?的前n项和为Tn.

Sn?Sn?1n?1【答案】（1）Sn?2?2（2）

11?n?2 22?2【解析】 【分析】

（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差d?1，从而求出bn?2前n项和公式即可求解.

（2）由（1）求出cn，再利用裂项求和法即可求解. 【详解】

2（1）a4?4，且a1，a3，a9依次成等比数列，?a3?a1a9，

an?2n，再利用等比数列的

即：?4?d???4?3d??4?5d?，Qd?0，?d?1，

2?an?n，?bn?2an?2n，

?Sn?2?1?2n?1?2?2n?1?2；

（2）Qcn?2bnbn?1S?Sn11??n?1??，

Sn?Sn?1Sn?Sn?1Sn?Sn?1SnSn?1