【点睛】
本题考查了轴对称图形的性质和作图﹣平移变换,作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
27.(1)△ABC的外接圆的R为1;(2)EF的最小值为2;(3)存在,AC的最小值为92. 【解析】 【分析】
(1)如图1中,作△ABC的外接圆,连接OA,OC.证明∠AOC=90°即可解决问题;
(2)如图2中,作AH⊥BC于H.当直径AD的值一定时,EF的值也确定,根据垂线段最短可知当AD与AH重合时,AD的值最短,此时EF的值也最短;
(3)如图3中,将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,连接EC,作EH⊥CB交CB的延长线于H,设BE=CD=x.证明EC=【详解】
解:(1)如图1中,作△ABC的外接圆,连接OA,OC.
AC,构建二次函数求出EC的最小值即可解决问题.
∵∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣75°﹣10°=45°, 又∵∠AOC=2∠B, ∴∠AOC=90°, ∴AC=12, ∴OA=OC=1,
∴△ABC的外接圆的R为1. (2)如图2中,作AH⊥BC于H.
∵AC=86,∠C=45°,
∴AH=AC?sin45°=86×∵∠BAC=10°,
2=83, 2∴当直径AD的值一定时,EF的值也确定,
根据垂线段最短可知当AD与AH重合时,AD的值最短,此时EF的值也最短, 如图2﹣1中,当AD⊥BC时,作OH⊥EF于H,连接OE,OF.
∵∠EOF=2∠BAC=20°,OE=OF,OH⊥EF, ∴EH=HF,∠OEF=∠OFE=30°, ∴EH=OF?cos30°=43?∴EF=2EH=2, ∴EF的最小值为2.
(3)如图3中,将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,连接EC,作EH⊥CB交CB的延长线于H,设BE=CD=x.
3=1, 2
∵∠AE=AC,∠CAE=90°,
∴EC=2AC,∠AEC=∠ACE=45°, ∴EC的值最小时,AC的值最小,
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=∠ACB+∠AEB=30°, ∴∠∠BEC+∠BCE=10°, ∴∠EBC=20°, ∴∠EBH=10°, ∴∠BEH=30°,
∴BH=
13x,EH=x, 22∵CD+BC=23,CD=x, ∴BC=23﹣x
3?1?∴EC2=EH2+CH2=(x)2+?x?123?x?=x2﹣23x+432,
2?2?∵a=1>0, ∴当x=﹣
2?123=13时,EC的长最小, 2此时EC=18, ∴AC=2EC=92, 2∴AC的最小值为92. 【点睛】
本题属于圆综合题,考查了圆周角定理,勾股定理,解直角三角形,二次函数的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会构建二次函数解决最值问题,属于中考压轴题.
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