数学36道压轴1-4

第1题 “部分图象”同平移，“拉开电灯”是“追及”

练习1参考答案：

(1) 因为M(1，－4) 是二次函数y=(x+m)2+k的顶点坐标， 所以y=(x－1)2－4=x2－2x－3 令x2－2x－3=0，解之得x1=－1，x2=3．

∴A，B两点的坐标分别为A（－1，0），B（3，0）． (2) 在二次函数的图象上存在点P，使S?PAB?设P(x，y)则S?PAB∴2y?5S?MAB 411?AB?y?2y，又S?MAB?AB??4?8， 225?8,即y??5. 4∵二次函数的最小值为－4，∴y=5． 当y=5时，x=－2或x=4．

故P点坐标为（－2，5）或（4，5）

图1

（3）如图1，当直线y=x+b(b<1)经过A点时，可得b=1, 当直线y=x+b(b<1)经过B点时，可得b=－3． 由图可知符合题意的b的取值范围为－3

5S?MAB求出△PAB底边AB的高（即P点纵坐4标的绝对值），求得P点的纵坐标，进而计算P点的横坐标．在（3）中分别计算出直线y=x+b(b<1)经过A点、经过B点时b的值，即求出b的取值范围． 练习2参考答案：

（1）抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点 ∴9a－3b＋3＝0 且a－b＋3＝0 解得a＝1 ， b ＝4

∴抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3

（2）由（1）配方得y＝(x＋2)2－1 ∴抛物线的顶点M（－2，1） ∴直线OD的解析式为y＝1x 2 是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，

1h）， 21h． 21h＝9， 2∴平移的抛物线解析式为y＝（x－h）2＋

①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h2＋

-1?145． 4 解得h＝

∴ 当

-1-145-1?145≤h＜ 时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点． 44 ②当抛物线与直线CD只有一个公共点时， 由方程组y＝（x－h）2＋ 得 x2＋（－2h＋2）x＋h2＋

1h，y＝－2x＋9． 21h－9＝0， 21h－9）＝0， 2∴△＝（－2h＋2）2－4（h2＋ 解得h＝4．

此时抛物线y＝（x－4）2＋2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意． 综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h＝4或

-1-145-1?145≤h＜． 44第2题 “弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破

有什么值得学一学 思路一：平行切线法

如图5，过点N作OB的平行线ST，当直线ST与抛物线y?到直线OB的距离最大，△OBN的面积最大．

121x?x相切时，点N42y?x?m??设直线ST的解析式为：y=x+m 解方程组：?121

y?x?x?42?1232消去y得：x?x?m?0即x?6x?4m?0

42如果ST与抛物线相切，则(?6)2?16m?0，解得m＝?229 43) 4方程x?6x?4m?0变为x?6x?9?0，解得x＝3，点N的坐标为(3，有了点O，点B，点N三点坐标，可求得△OBN面积为思路二：补全图形法(如图6)

如图6，分别过点N，B作x轴的垂线，垂足分别为G，H．设N (x,则S?BON?S?OBH?S?ONG?S梯形NGHB

27 4121x?x)， 42111?OH?BH??OG?NG??(NG?BH)?GH 2221111111＝?6?6??x?(x2?x)??(x2?x?6)?(6?x) 224224239327＝?x2?x??(x?3)2?(0?x?6)

4244273∴当x＝3时，△BON面积最大，最大值为，此时点N的坐标为(3,)．

44＝

思路三：分割图形法(如图7)

如图7，过N作x轴的垂线NG，垂足为G，交OB于点Q，过B作BH⊥x轴于H， 设N(x,x)

于是S?BON?S?QON?S?BQN

121x?x)，由于B点坐标为(6，6)，由直线OB的解析式为：y＝x．则Q(x，421111?QN?OG??QN?GH＝?QN?(OG?GH)＝?QN?OH

222211213293272(0?x?6) ＝[x?(x?x)]?6＝?x?x??(x?3)?2424244273∴当x＝3时，△BON面积最大，最大值为，此时点N的坐标为(3,)．

44＝ 练习

（1）∵A?B?OC?由ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0,3)，

∴点A?的坐标为(3,0)． 所以抛物线过点C(?1,0),A(0,3),A?(3,0)．（注：也可以用顶点式，交点式做）

?a?b?c?0?a??1??设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a?0)，可得?c?3 解得?b?2

?9a?3b?c?0?c?3??∴ 过点C,A,A?的抛物线的解析式为y??x2?2x?3． （2）因为AB∥CO，所以?OAB??AOC?90?． 所以OB?OA2?AB2?12?32?10．又?OC?D??OCA??B，

?C?OD??BOA， ∴△C?OD∽△BOA． 又OC??OC?1．

∴

△C?OD的周长OC?1． 又△ABO的周长为4?10， ??△BOA的周长OB10所以△C?OD的周长为4+10210． =1+510（3）［解法1］连接OM，设M点的坐标为?m,n?，

因为点M在抛物线上，所以n??m?2m?3，所以

2111S△AMA'?S△AMO?S△OMA'?S△AOA'?OA?m?OA'?n?OA?OA'

22239333?3?27??m?n????m?n?3???m2?3m???m???. 22222?2?8??2因为0

24831527)时，△AMA?的面积有最大值，且最大值为. 248[解法2]设直线AA?的解析式为y?kx?l，∵点A,A?的坐标分别为(0,3),(3,0)，

?l?3,?k??1,∴? 解得? ∴y??x?3．

3k?l?0.l?3.??