数学36道压轴1-4

将直线AA?向右平移，当直线与抛物线只有一个交点M时与y轴交于点P，此时S△AMA?最

?y??x2?2x?3,大，设平移后的直线的解析式为：y??x?h，则有：? 得

y??x?h.?x2?3x?(?3+h)?0，

令??9?4(?3?h)?0，得h?21． 43??y??x2?2x?3,x?,?31521??2(,)(0,)． ∴?．解得 ∴点坐标为，点P的坐标为M?21244?y?15.?y??x?.?4??4因为MP∥AA?，所以△MAA?与△PAA?同底等高，它们面积相等． 故S△AMA??S△PAA??S△POA??S△AOA??所以当点M的坐标为(,121127?3???3?3?． 242831527)时，△AMA?的面积有最大值，且最大值为. 248评析：第（3）问是一个典型的“抛物线弓形三角形面积问题”，同学们可尝试用不同的思路突破，体会“殊途同归”．

第3题 “模式识别”记心头，看似“并列”实“递进”

例3 最后一问的详细过程

过程如下：在Rt△PDF中，DF?又BG＝4－m

11PD??(m2?2m?8).

55∴

SSPCDPBC1?(m2?2m?8)DFm?2??5? BG4?m5当

SSSSPCDPBC?5m?29?时．解得m?

251032m?210 ?时，解得m?959当

PCDPBC?变式练习 练习 参考答案

（1）把点P代入二次函数解析式得5= （－2）2－2b－3，解得b=－2．所以二次函数解析式为y=x2－2x－3当x=1时，y=－4，当x=3时，y=0，所以当1＜x≤3时y的取值范围为－4＜y≤0．

（2）①m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长．

②当m取不小于5的任意实数时，结合函数增减性有y10， 即y1＋y2＞y3成立．

所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长． 评析：本题将二次函数与三角形的三边关系结合在一起，考查学生的综合应用知识的能力，是一道好题，判定三个数能否成为一个三角形的三边长通常要满足任意两边之和大于第三边，但实际操作中只需判断两个较小数的和是否大于最大的数即可，本题第（2）题中从特殊到一般、由易到难，考查学生推理能力，运用配方法证明不等关系是解决本题重要的思想方法．

第4题 “准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”

有什么值得学一学

(2012江苏南通卷，18，3分)无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于 ．

方法一：特值引路，获得直线的解析式就OK了．由“无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上”字面意思，可以给字母a赋予两个不同的值，比如1和2，从而得到两个不同的点(0，－1)和(1，1)，由这两个点的坐标求出直线l的解析式为y＝2x－1，进而得到n＝2m－1，所以2m－n＝1，(2m－n＋3)2＝16．

方法二：深刻理解“无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上”的含义可知：

?x?a?1,设直线l解析式为y＝kx＋b，则有?消去字母a可得直线解析式为y＝2x－1．

y?2a?3.?方法三：细细阅读“无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直?m?a?1,线l上的点”这句话，可以发现m、n应该满足?将其直接代入可很快求出结果．当

?n?2a?3.?m?a?1,然在得到?这个结论后，也可以给字母a一个具体的值，比如2，则m＝1，n＝1，

n?2a?3?再代入求值． 练习1答案：

（1）a＝－1，b＝2，c＝0 （2）∵FM＝FP，PM与直线y?把y?55331垂直，∴???y，∴y?，

44444333111代入y＝－x2＋2x，解得x?1?∴点P坐标为（1?，）或（1?，），

22244431当点P坐标为（1?，）时，MP＝MF＝PF＝1，∴△PFM为正三角形，

2431当点P坐标为（1?，）时，MP＝MF＝PF＝1，∴△PFM为正三角形，

243311∴当点P坐标为（1?，）或（1?，）时，△PFM为正三角形；

2244（3）存在． 解法1： ∵PM＝PN ∴

5?y＝4?x?1?2??y?t?，两边同时平方得，225522?y?y2＝?x?1???y?t? 162∵y＝－x2＋2x，∴t2?2yt?故存在点N（1，

3933， y??0，解得t1?，t2?2y?（舍去）

216443），使PM＝PN恒成立． 4图1-2

解法2：

图1-3

当点P运动到如图1－3位置时P（4，0），PN=PM=即N（1，点N（1，

53，在Rt△PGN中由勾股定理可得NG=，443），在抛物线任取点P（1，1）或P（5，－10）等时，均有PN=PM，于是存在43），使PM＝PN恒成立． 4评析：这道题三个问题设计层层递进，是一道不可多得的好题，特别是第（2）、（3）问的设计，探究渐入佳境，高中阶段抛物线的准线、焦问知识不露声色的渗透得十分到位！事实上，第（3）问的解法1是一种通法，却很难成功求解，原因是关于t的一元二次方程不会求解；而解法2由特殊到一般的求解方法，很好地考查了探究性问题的研究方法—大胆的猜想、小心的求证． 练习2答案：

（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y?ax2?bx?c，

1?a???0?4a?2b?c4??由?0?4a?2b?c，解得?b?0．

?c??1??1?c???1所以y?x2?1．

4（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），因为点M、N在抛物线上， 所以y1?121x1?1，y2?x22?1，所以x22?4(y2?1)； 44又ON2=x22?y22=4(y2?1)?y22=(y2?2)2， 所以ON=y2?2，又因为y2≥?1， 所以ON=y2?2．

设ON的中点为E，分别过点N、E向直线l1作垂线，垂足为P、F，