(Ⅰ)若曲线y?f?x?在点?2，f?2??处切线的倾斜角为
?4，求a的值; (Ⅱ)已知导函数f'?x?在区间?1，e?上存在零点，证明:当x??1，e?时，f?x???e2. 【解析】 (Ⅰ)f?x??alnx?x2??a?2?x，故f'?x??ax?2x??a?2?， f'?2??a2?4??a?2??tan?4?1，故a?2. (Ⅱ) f'?x??ax?2x??a?2???x?1??2x?a?x?0，即a?2x??2,e?，存在唯一零点，设零点为x，故f'?xa00??x?2x0??a?2??0，即a?2x0， 0f?x?在?1,x0?上单调递减，在?x0,e?上单调递增，
故f?x?2min?f?x0??alnx0?x0??a?2?x0?2x20lnx0?x0??2x0?2?x0
?2x20lnx0?x0?2x0，
设g?x??2xlnx?x2?2x，则g'?x??2lnx?2x，
设h?x??g'?x??2lnx?2x，则h'?x??2x?2?0，h?x?单调递减， h?1??g'?1???2，故g'?x??2lnx?2x?0恒成立，故g?x?单调递减. g?x?min?g?e???e2，故当x??1，e?时，f?x???e2.
（2020东城一模）已知函数f?x??lnx?ax?1. （1）若曲线y?f?x?存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；
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（2）求f?x?的单调区间；
（3）设函数g?x??x?a，求证：当?1?a?0时， g?x?在?1,???上存在极小值. lnxa1ax?a?1得f'?x???2?2(x?0). xxxx【解析】（1）由f?x??lnx?由已知曲线y?f?x?存在斜率为-1的切线，所以f'?x???1存在大于零的实数根，
即x2?x?a?0存在大于零的实数根，因为y?x?x?a在x?0时单调递增， 所以实数a的取值范围???,0?. （2）由f'?x??2x?a,x?0,a?R可得 2x当a?0时， f'?x??0，所以函数f?x?的增区间为?0,???； 当a?0时，若x???a,???， f'?x??0，若x??0,?a?， f'?x??0， 所以此时函数f?x?的增区间为??a,???，减区间为?0,?a?.
alnx??1f?x?x?ax（3）由g?x??及题设得g'?x??， ?22lnx?lnx??lnx?由?1?a?0可得0??a?1，由（2）可知函数f?x?在??a,???上递增， 所以f?1???a?1?0，取x?e，显然e?1，
f?e??lne?aa?1???0，所以存在x0??1,e?满足f?x0??0，即存在x0??1,e?满足g'?x0??0，所ee以g?x?， g'?x?在区间（1，+∞）上情况如下：
x (1,x0）+?） x0 (x0，
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g'?x? － 0 + g?x? ↘ 极小 ↗
所以当-1 （1）若曲线y?f?x?在点?e,f?e??处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）当a?0时，求证：f?x??0； （3）若函数f?x?在区间(1,+?)上存在极值点，求实数a的取值范围. 【解析】（1）因为f?x???x?a?lnx?x?1， 所以f??x??lnx?ax. 由题知f??e??lne?ae?1， 解得a?0. （2）当a?0时，f?x??xlnx?x?1， 所以f??x??lnx. 当x??0,1?时，f￠(x)<0，f?x?在区间(0,1)上单调递减； 当x??1,???时，f￠(x)>0，f?x?在区间(1,+?)上单调递增； 所以f?1??0是f?x?在区间(0,+?)上的最小值. 19 / 31 所以f?x??0. （3）由（1）知，f??x??lnx?ax?xlnx?ax. 若a?0，则当x??1,???时，f￠x>0，f?x?在区间1,+?()()上单调递增， 此时无极值. 若a?0，令g?x??f??x?， 则g??x??1a?. xx2因为当x??1,???时，g￠x>0，所以g?x?在1,+?()()上单调递增. 因为g?1??a?0， 而ge????a?ae?aa?a?ea?1??0， 所以存在x0?1,e??a?，使得g?x??0. 0f￠(x)和f?x?的情况如下： x ?1,x0? ? x0 ?x,e? ?a0f￠(x) f?x? 0 ? ] 极小值 Z 因此，当x?x0时，f?x?有极小值f?x0?. 综上，a的取值范围是(??,0). 20 / 31
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