第三章-第四章导数应用与积分

性质2 设函数f(x)的原函数存在，k为实数（k?0），则有

?kf(x)dx?k?f(x)dx.

根据上述性质及基本积分公式，可以求一些简单函数的不定积分. 例8 求解

?x(x2?5)dx.

25212?x(x?5)dx??(x?5x)dx

?xdx?5xdx ?xdx?5xdx

3272 ?x2?5?x2?C

73??5252?1212? ?2310xx?xx?C. 73注意 （1）分项积分后每个不定积分都有任意常数，因为任意常数之和仍为任意常数，

所以只需写一个任意常数.

（2）检验不定积分的结果是否正确，只要把结果求导，看它的导数是否等于被积函数即可.

(x?1)3dx. 例9 求?x2(x?1)3x3?3x2?3x?1dx??dx 解 ?22xx31?2)dx ?xxdxdx??2 ??xdx?3?dx?3?xx ?(x?3?x21?3x?3lnx??C. ?2xx例10 求(10?3sinx)dx.

?xx解 (10?3sinx)dx?10dx?3sinxdx

???10x?3cosx?C. ?ln101?x?x2例11 求?dx. 2x(1?x)解 这个例子中的被积函数在基本积分表中没有，我们可以通过简单的形化把它进行分项（或拆项）后，再逐项积分.

1?x?x2(1?x2)?x ?dx??dx 22x(1?x)x(1?x) ?11dx??x?1?x2dx

?lnx?arctanx?C.

x4dx. 例12 求?1?x2x4x4?1?1dx??dx 解 ?221?x1?x(x2?1)(x2?1)?1dx ??1?x21)dx ?1?x2dx2 ??xdx??dx??

1?x213 ?x?x?arctanx?C.

3 ?(x?1?2例13

?tan2xdx.

解 这个例子中的被积函数在基本积分表中没有，我们可以通过三角恒等式变形，再逐项积分.

222 tanxdx?(secx?1)dx?secxdx?dx

???? ?tanx?x?C.

x?2dx.

1?cosx12xdx??dx??(1?cosx)dx 解 ?sin22211 ?[?dx??cosxdx]?(x?sinx)?C.

22cos2xdx. 例15 求?cosx?sinx例14 求sin2cos2xcos2x?sin2xdx??dx 解 ?cosx?sinxcosx?sinx ?(cosx?sinx)dx

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