命题角度1 补形法求体 积 例2 [20xx·全国卷Ⅱ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截 去一部分后所得，则该几何体的体积为( ) A．90π B．63π C．42π D．36π 答案 B解析 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱 截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选 B.命题角度2 分割法求体 积 例3 [20xx·山西五校联考]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积 为( ) B．5500立方尺 D．6500立方尺 A．5000立方尺 C．6000立方尺 答案 A解析 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE－GHF割补成 6 / 15 【精品资料欢迎惠存】 高为EF，底面积为S＝×3×1＝平方丈的一个直棱柱，故该楔体的 体积V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝5000立方尺．故选A.命题角度3 转化法求体 积 例4 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分 别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________． 答案 16解析 三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以正方体ABCD－A1B1C1D1中△EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF－ DD1E＝××1＝. 触类旁通空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台 体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转 换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何 体的直观图，然后根据条件求解．考向 与球有关的切、接问题
例5 [20xx·沈阳模拟]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的 半径为( ) A. B．2 C. D．310 答案 C解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.故选 C. 7 / 15 【精品资料欢迎惠存】 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？ 解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径 为R，内切球的半径为r. 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4， 从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π， V内切球＝πr3＝π×23＝. 本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则 此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解 正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表 面积为S2＝4πr2＝，则＝＝. 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？ 解 依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3×＝6，高为 ＝ 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接 球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3. 触类旁通“切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理解决旋转体、多面体的内切球问题时首先要找准切点，通过作 截面来解决．截面过球心． (2)“接”的处理 8 / 15 【精品资料欢迎惠存】 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离 等于球的半径．【变式训练2】 (1)[20xx·全国卷Ⅲ]已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体 积为( ) A．π B. C. D.π4 答案 B 解析 设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形． ∴r＝ ＝. ∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.故选B.(2)[20xx·湖北七市联考]一个几何体的三视图如图所示，该几 何体外接球的表面积为( ) A．36π B. C．32π D．28π 答案 B解析 根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球．∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形，∴底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为×2＝，∴外接球 的半径为R＝＝，外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝.故选B.核心规律 1.表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积时，只需将它们沿着棱剪开后展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积．求旋转体的表面积时，可以从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积． 2.求几何体体积时，要选择适当的底面和高． 9 / 15 【精品资料欢迎惠存】 满分策略 1.利用三视图求表面积和体积时，要正确地把它们还原成直观图，从三视图中得到几何体的相关量，再计算． 2.求不规则的几何体的表面积和体积时，把它们分成基本的简单几何体再求． 3.求几何体体积时注意运用割补法和等体积转换法. 板块三 启智培优·破译高考 [20xx·河南质检]如图是某几何体的三视图，则该几何体的体 积为( ) A.6 B．9 C．12 D．1解题视点 根据三视图还原几何体，先画出该棱柱在没有切割前完整的图形，然后去掉被切割下的三棱柱，结合图形利用体积公 式破解．解析 该几何体是一个直三棱柱截去所得，如图所示，其体积 为××3×4×2＝9.故选B. 答案 B 答题启示 从近年全国各地对于三视图知识的考查来看，所涉及的几何体往往是相对比较规则的，且多与长方体、直棱柱、圆锥及球密切相关.通常考查的不是这些简单的几何体，而是通过对这些 简单的几何体的截或接所形成的几何体. 跟踪训练将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则 该几何体的体积为( ) A. B. C. D．6 答案 A解析 由图可知，该几何体为正方体切去一个三棱锥形成．V＝ 2×2×2－××2×2×1＝.故选A.题型技法系列 10 ——破解切割棱柱体的三视图问题
板块四 模拟演练·提能增分
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