三、反比例函数 1．（北京模拟）如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC＝x，四边形OCPD的面积为S． （1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式； （2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x＝
y B D P
39
时，S有最大值，求a、b的值； 48
（3）在（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过
M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标．
O C A x k1
2．（北京模拟）已知点A是双曲线y＝（k1＞0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴
x
k2交于点B，与双曲线y＝（k2＜0）交于点C．点D（m，0）是x轴上一点，且位于直线AC右侧，E是AD的中点．
x
（1）如图1，当m＝4时，求△ACD的面积（用含k1、k2的代数式表示）； k1
（2）如图2，若点E恰好在双曲线y＝（k1＞0）上，求m的值；
x
（3）如图3，设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当m＝2时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k1的值，并直接写出线段CF的长．
y y y
A A A
E E E
x x O B D x O B D O B D
F
C C C
图1 图2 图3
3．（上海模拟）Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，tan∠BAC＝
1k
，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的2x
图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y B E F A O D C x 4．（安徽某校自主招生）如图，直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上，点A（5n，0）在x轴的负半轴上，OA :AB :OC＝5 :5 :3．点D是线段OC上一点，且OD＝BD． （1）若直线y＝kx＋m（k≠0）过B、D两点，求k的值； y
（2）在（1）的条件下，反比例函数y＝
①求证：反比例函数y＝②设反比例函数y＝
m
的图象经过点B． x
m
的图象与直线AB必有两个不同的交点； x
B F C
m
的图象与直线AB的另一个交点为E，已知点P（p，－nx
E A O x －1），Q（q，－n－2）在线段AB上，当点E落在线段PQ上时，求n的取
值范围．
5．（浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x＋x－1)的图象交于点A（1，k）和点B（－1，－k）．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值． 6．（浙江义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）
2
在边AB上，反比例函数y＝
k1
在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA＝． x2
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正轴交于点H、G，求线段OG的长． 7．（浙江某校自主招生）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－
y C G O F D H B E A x 23x
的图象上．
（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；
（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得ky ＝__________，若点P的坐标为（m，0），则b＝__________（用含m的代数式表示）；
（3）继续探究：①若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个？
②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况．
P O N M Q x 8．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线
k
y＝x对称，反比例函数y＝x（x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点． （1）填空：B点的坐标为（______，______）；
（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、
y P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，
A 过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE＋QF＋QB
的值最小时，求出Q点坐标．
B
x O
6
9．（浙江模拟）已知点P（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的动
x
y 3
点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A、
x
3y＝x y＝2x
B，点C是直线y＝2x上的一点．
（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；
（2）在点P运动过程中，连接AB，△PAB的面积是否变化，若不变，请求出△PAB的面积；若改变，请说明理由；
（3）在点P运动过程中，以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由． 10．（江苏徐州）如图，直线y＝x＋b（b＞4）与x轴、y轴分别相交于点
4
A、B，与反比例函数y＝－ 的图象相交于点C、D（点C在点D的左
x
侧），⊙O是以CD长为半径的圆．CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E． （1）△CDE是______________三角形；点C的坐标为______________，点D的坐标为_____________（用含有b的代数式表示）； （2）b为何值时，点E在⊙O上？
（3）随着b取值逐渐增大，直线y＝x＋b与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围． 11．（江苏泰州）如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图象与x轴相交于点A，
C A P 6y＝x B O x y y＝x＋b 4 B
D C －5E 2 A O －25 x 4y＝－x －4c5
与反比例函数y2＝的图象相交于B（－1，5）、C（，d）两点． x2
y B D P A O C x
点P（m，n）是一次函数y1＝kx＋b的图象上的动点．
（1）求k、b的值； （2）设－1＜m＜
3c
，过点P作x轴的平行线与函数y2＝的图象相交于点2x
D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时
点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设m＝1－a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．
3
12．（江苏模拟）如图，双曲线y＝（x＞0）与过A（1，0）、B（0，1）
16x
y B P D Q F O C A x
的直线交于P、Q两点，连接OP、OQ．点C是线段OA上一点（不与O、A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a． （1）求证：△OAQ≌△OBP； （2）当a为何值时，CE＝AC？
（3）是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
E m
13．（河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y＝（x＞0）的
x
图象经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）．
14．（山东济南）如图，已知双曲线y＝
y C D P B x O A y
k
经过点D（6，1），点C是双曲x
线第三象限分支上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC． （1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式； （3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 15．（山东淄博）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）． （1）求反比例函数的解析式；
y 1
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y＝－x＋b过点D，与线
2
A 段AB相交于点F，求点F的坐标；
B A C O D x
F E B D （3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例在第一象 限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三角形， 直接写出点P的坐标．
O C x
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