k
16．（湖北某校自主招生）在直角坐标系中，O为坐标原点，A是双曲线y＝（k＞0）在第一象限图象上的一点，直
x
线OA交双曲线于另一点C．
（1）如图1，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移交y轴于点N，若
3
个单位后与双曲线在第一象限的图象交于点M，2
MN1
＝，求OA2
y y B k的值；
（2）如图2，若k＝1，点B在双曲线的第一象限的图象上运动，点D在双曲线的第三象限的图象上运动，且使得四边形ABCD是凸四边形时，求证：∠BCD＝∠BAD．
17．（湖北模拟）如图，反比例函数y＝
2
N M A O x O C A x C D 图2
图1 k
的图象经过点A（a，b）且|ax
＋23|＋(b－23)＝0，直线y＝2x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C． y y＝2x－2 （1）求反比例函数的解析式；
（2）将线段BC绕坐标平面内的某点M旋转180°后B、C两点恰好都落在反比例函数的图象上，求点M的坐标； （3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（广西北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、B（0，1）、C（d，2）． （1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线B′C′交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是C
A O C B x y
G C′ B′ A′ x
平行四边形．如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存B 在，请说明理由
A O 19．（广西玉林、防城港）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在xk
轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y＝的一支在第一象限交梯形
x
y A D O C E B x
对角线OC于点D，交边BC于点E．
（1）填空：双曲线的另一支在第_________象限，k的取值范围是_______________； （2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分面积S最小？ OD1（3）若＝，S△OAC＝2，求双曲线的解析式．
OC2
k2
20．（福建厦门）已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2＞0）的交点．
x
（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM．若AM＝BM，求点B的坐标；
k2PN
（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝（k2＞0）于点N．当取最大值时，
xNE
有PN＝
1
，求此时双曲线的解析式． 2
y A B C 21．（福建莆田）如图，一次函数y＝k1x＋b的图象过点A（0，3），且与反比例函数k2y＝x（x＞0）的图象相交于B、C两点．
（1）若B（1，2），求k1·k2的值；
（2）若AB＝BC，则k1·k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说x O 明理由．
1k
22．（福建某校自主招生）如图1，已知直线y＝－x＋m与反比例函数y＝ 的图象在第一象限内交于A、B两点（点
2x
A在点B的左侧），分别与x、y轴交于点C、D，AE
y ⊥x轴于E． y （1）若OE·CE＝12，求k的值；
（2）如图2，作BF⊥y轴于F，求证：EF∥CD；
D A A D （3）在（1）（2）的条件下，EF＝5，AB＝25，
B P是x轴正半轴上一点，且△PAB是以P为直角顶点
B F 的等腰直角三角形，求P点的坐标．
x O E C x O E C 图1
图2
23．（上海模拟）已知点P是函数y＝
1
x（x＞0）图象上一点，PA⊥x轴于2
kk
点A，交函数y＝（x＞0）图象于点E，PB⊥y轴于点B，交函数y＝（x
xx
y
＞0）图象于点F．（点E、F不重合）
F P （1）求证：EF∥AB； B （2）若k＝1，试问：△OEF能否为直角三角形？若能，请求出此时点P
E 的坐标；若不能，请说明理由．
x A O 24．（广东模拟）“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y＝
1
的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点x
R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM1
得到∠MOB，则∠MOB＝∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问
3
y A P S Q R B x M 题：
11
（1）设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数关系式（用含a、
ab
b的代数式表示）；
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明1
Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB＝∠AOB；
3
O H （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．
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