《概率论与数理统计》期末考试试题及答案

十、（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数?(x)的值表示）. 解：用Xi表示第i户居民的用电量，则Xi~U[0,20] (20?0)21000?20? ………2分 EXi??10 DXi?1232则1000户居民的用电量为X??Xi，由独立同分布中心极限定理 i?11000P?X?10100??1?P?X?10100? ………3分 ???X?1000?1010100?1000?10???=1?P??? ………4分 100??1000?1001000???33??10100?1000?10?1??() ……….6分 1001000?3=1??( 十一、（73) ………7分 10分）设x1,x2,?,xn是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为 ?(??1)x?, 0?x?1,f(x)?? 其他,?0, 其中??0未知，求?的最大似然估计。 解: 最大似然函数为 L(x1,?,xn,?)??f(xi)??(??1)xi? ……….2分 i?1i?1n?=(??1)(x1,?,xn) ……… .3分 nn则 lnL(x1,?,xn,?)?nln(??1)??ln(x1,?,xn) 0?x1,?,xn?1 ………..4分 dlnLn??ln(x1,?,xn)?0 ………..5分 d???1于是?的最大似然估计： 令 ????1? 十二、（5n。 ……….7分 lnln(x1,?,xn)分）某商店每天每百元投资的利润率X~N(?,1)服从正态分布，均值为?，长期以来方差?2 稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值为x?5，试求?的置信水平为95%的置信区间。（t0.05(100)?1.99, ?(1.96)?0.975） 解： 因为?已知，且X???n~N(0,1) …………1分 ???X????U???1?? …………2分 故 P?2???n??依题意 ??0.05,U??1.96,n?100,??1,x?5 2则?的置信水平为95%的置信区间为 [x?U??2?n,x?U??2?n] …………4分 即为 [4.801,5.199] …………5分