高中数学常用公式及结论大全(新课标)
必修1
1、集合的含义与表示
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。
描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如{x|x?5,且x?N}
2、常用数集及其表示方法
（1）自然数集N（又称非负整数集）：0、1、2、3、…… （2）正整数集N*或N+ ：1、2、3、…… （3）整数集Z：-2、-1、0、1、……
（4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等 （5）实数集R：全体实数的集合 （6）空集Ф：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于∈，不属于?
例如：a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等 （1）子集的概念
如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集(如图1)，记作A?B或B?A.
A,B 或 B A 若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q， 记作P?Q
(图1)
（2）真子集的概念
若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集(如图2). A??B或B??A.
B A (图2) （3）集合相等：若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.
A?B,B?A?A?B
5、重要结论（1）传递性：若A?B，B?C，则A?C
（2）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.
6、含有n个元素的集合,它的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2–1个(即不计空集)；非空的真子集有2–2个.
7、集合的运算：交集、并集、补集
（1）一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B（读作＂A交B＂），即A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝．
nnnnA?B 1
（2）一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并集．记作A∪B（读作＂A并B＂），即A∪B=｛x|x∈A，或x∈B｝．
A?B （3）若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合， 叫做A在U中的补集，记作CUACUA A 注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了A??的情况。 8、映射观点下的函数概念
如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C?B）叫做函数y=f(x)
的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).
,
CUA??x|x?U,且x?A?
?2x?1x?09、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如y?? 2x?0??x?310、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）
1,则x?1?0 x?1②偶次方根的被开方数大于或等于零；如:y?5?x,则5?x?0 ③对数的底数大于０且不等于１；如:y?loga(x?2),则a?0且a?1
①分式的分母不为零；如:y?④对数的真数大于０；如:y?loga(x?2),则x?2?0
⑤指数为０的底不能为零；如:y?(m?1),则m?1?0 11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）
（1）奇函数满足f(?x)??f(x)， 奇函数的图象关于原点对称； （2）偶函数满足f(?x)?f(x)， 偶函数的图象关于y轴对称；
注：①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; ②若奇函数在原点有定义,则f(0)?0
③根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）
当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，则f(x)在该区间上是增函数，图象从左到右上升； 当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，则f(x)在该区间上是减函数，图象从左到右下降。 函数f(x)在某区间上是增函数或减函数，那么说f(x)在该区间具有单调性，该区间叫做单调（增/减）区间
13、一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)
x?b?b2?4ac2 （1）求根公式:x1,2? （2）判别式：??b?4ac
2a（3）??0时方程有两个不等实根；??0时方程有一个实根；??0时方程无实根。
bc（4）根与系数的关系——韦达定理:x1?x2??，x1?x2?
aa14、二次函数：一般式y?ax?bx?c(a?0)； 两根式y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)
2 2
（1）顶点坐标为(?bb4ac?b（2）对称轴方程为：x=?； ,)；
2a2a4a2y x 0 4ac?b2b（3）当a?0时，图象是开口向上的抛物线，在x=?处取得最小值
4a2a4ac?b2b 当a?0时，图象是开口向下的抛物线，在x=?处取得最大值
4a2a（4）二次函数图象与x轴的交点个数和判别式?的关系：
??0时，有两个交点；??0时，有一个交点（即顶点）；??0时，无交点。 15、函数的零点
2使f(x)?0的实数x0叫做函数的零点。例如x0??1是函数f(x)?x?1的一个零点。
注：函数y?f?x?有零点 ? 函数y?f?x?的图象与x轴有交点 ? 方程f?x??0有实根 16、函数零点的判定：
如果函数y?f?x?在区间?a,b?上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)?0。那
么，函数y?f?x?在区间?a,b?内有零点，即存在c??a,b?,使得f?c??0。 17、分数指数幂 （a?0,m,n?N，且n?1） （1）amn??a.如x?x；(2) anm332?mn?1man?1nam. 如
1x3?x?32n；（3）(na)?a；
（4）当n为奇数时，nan?a； 当n为偶数时，nan?|a|??18、有理指数幂的运算性质（a?0,r,s?Q） （1）a?a?arsr?s?a,a?0.
??a,a?0rrr； （2）(a)?a； （3）(ab)?ab
rsrs19、指数函数y?a（a?0且a?1），其中x是自变量，a叫做底数，定义域是R
x 图 象 性 质 y 1 0 a?1 x 0?a?1 y 1 0 x （1）定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数 3
20、若a?N，则
b叫做以
为底N的对数。记作：logaN?b（a?0,a?1，N?0）
其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。
注：指数式与对数式的互化公式：logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0) 21、对数的性质
（1）零和负数没有对数，即logaN中N?0；
（2）1的对数等于0，即 loga1?0 ；底数的对数等于1，即logaa?1 22、常用对数lgN：以10为底的对数叫做常用对数，记为：log10N?lgN
自然对数lnN：以e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数，记为：logeN?lnN 23、对数恒等式：alogaN?N
24、对数的运算性质（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
(1)loga(MN)?logaM?logaN; (2) logaM?logaM?logaN; Nn(3)logaM?nlogaM(n?R) （注意公式的逆用）
25、对数的换底公式 logaN?推论①
logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
logma1nn或logab?； ②logamb?logab.
logbam26、对数函数y?logax（a?0，且a?1）：其中，x是自变量，a叫做底数，定义域是(0,??)
图像 y a?1 0?a?1 x 0 1 x 0 1 定义域：(0, ∞) 性质 值域：R 过定点（1，0） 增函数 取值范围 0
4
28、幂函数y?x（??R），其中x是自变量。要求掌握???1,??1,1,2,3这五种情况(如下图) 229、幂函数y?x的性质及图象变化规律：
（Ⅰ）所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（Ⅱ）当??0时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数． （Ⅲ）当??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数． 3 -232y?x 2y?x 211 2y?x3 y?x?1 1 -1-221 11 1 y?1 2x -21 -1-22-2 -1-3必修2
30、边长为a的等边三角形面积S正??32a 431、柱体体积：V柱＝S底h， 锥体体积：V锥＝S底h
13432球表面积公式：S球?4?R， 球体积公式：V??R（上述四个公式不要求记忆）
332、四个公理：
① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 ② 过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。
③ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。 ④ 平行于同一直线的两条直线平行（平行的传递性）。 33、等角定理：
1 2 3 空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补(如图)
?（在同一平面内，没有公共点） 平行：?共面直线??34、两条直线的位置关系：? （在同一平面内，有一个公共点） ?相交：
?：（不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点） ?异面直线 直线与平面的位置关系：
（1）直线在平面上；（2）直线在平面外（包括直线与平面平行，直线与平面相交） 两个平面的位置关系：（1）两个平面平行；（2）两个平面相交 35、直线与平面平行：
定义 一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。 判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。
性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 36、平面与平面平行：
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