【答案与解析】
k(x?0)的图象上， xkk∴设E（x1， ），F（x2，），x1＞0，x2＞0，
x2x1解：（1）∵点E、F在函数y?1kk1kk∴S1=?x1??，S2=?x2??.
2x122x22∵S1＋S2=2，∴
kk??2.∴k?2. 22kk，2)， F(4，). 24（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，∴设 E(∴BE=4－
kk，BF=2－. 241?k??k?121kk∴S△BEF= ??4????2???k?k?4，S△OCF= ?4??，S矩形OABC=2×4=8，
2?2??4?1624211k∴S四边形OAEF=S矩形OABC－S△BEF－S△OCF= 8－(k2?k?4)－?k2??4
1616212=??k?4??5. 16∴当k=4时，S四边形OAEF=5.∴AE=2.
∴当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5.
【总结升华】本题属于反比例函数综合题，考查曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值.
6．（2015?宿迁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数 y=（x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于 点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值； （3）若MA⊥AB，求t的值．
【思路点拨】
（1）把点A坐标代入y=（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直线AB的解析式，设M（t，），N（t，t﹣3），则MN=﹣t+3，由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值；
（3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果． 【答案与解析】
解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=（x＞0）得： k=1×8=8，y=，
∴k=8；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b， 根据题意得：解得：k=，b=﹣3，
∴直线AB的解析式为：y=x﹣3； 设M（t，），N（t，t﹣3）， 则MN=﹣t+3，
∴△BMN的面积S=（﹣t+3）t=﹣t+t+4=﹣（t﹣3）+∴△BMN的面积S是t的二次函数， ∵﹣＜0， ∴S有最大值，
当t=3时，△BMN的面积的最大值为（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y=﹣2x+c， 把点A（8，1）代入得：c=17，
∴直线AM的解析式为：y=﹣2x+17， 解方程组
得：
或
（舍去）， ；
2
2
，
，
∴M的坐标为（，16）， ∴t=．
【总结升华】
本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、二次函数的最值问题、垂线的性质等知识；本题难度较大，综合性强．
7．如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；
2
抛物线y=﹣x+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）
（1）当x取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）． ①当t=
时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据O、E的坐标即可确定抛物线的解析式，进而求出其顶点坐标，即可得出所求的结论； （2）①当t=
时，OA=AP=
，由此可求出P点的坐标，将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；
②此题要分成两种情况讨论：
（i）PN=0时，即t=0或t=3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是△PCD，以CD为底AD长为高即可求出其面积；
（ii）PN≠0时，即0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是梯形PNCD，根据抛物线的解析式可表示出N点的纵坐标，从而得出PN的长，根据梯形的面积公式即可求出此时S、t的函数关系式，令S=5，可得到关于t的方程，若方程有解，根据求得的t值即可确定N点的坐标，若方程无解，则说明以P、N、C、D为顶点的多边形的面积不可能为5．
【答案与解析】
2
解：（1）因抛物线y=﹣x+bx+c经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0）， 故可得c=0，b=4，
2
所以抛物线的解析式为y=﹣x+4x，
22
由y=﹣x+4x，y=﹣（x﹣2）+4，
得当x=2时，该抛物线的最大值是4；
（2）①点P不在直线ME上； 已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0）， 设直线ME的关系式为y=kx+b； 于是得，解得
所以直线ME的关系式为y=﹣2x+8； 由已知条件易得，当t=
时，OA=AP=
，P（
，
）
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=﹣2x+8；
∴当t=时，点P不在直线ME上；
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 ∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴OA=AP=t；
2
∴点P、N的坐标分别为（t，t）、（t，﹣t+4t）
2
∴AN=﹣t+4t（0≤t≤3），
22
∴AN﹣AP=（﹣t+4t）﹣t=﹣t+3t=t（3﹣t）≥0，
2
∴PN=﹣t+3t
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD， ∴S=DC?AD=×3×2=3；
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S=（CD+PN）?AD=[3+（﹣t+3t）]×2=﹣t+3t+3
当﹣t+3t+3=5时，解得t=1、2
而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5， 当t=1时，此时N点的坐标（1，3） 当t=2时，此时N点的坐标（2，4）． 【总结升华】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的顶点坐标的求法、图形的面积求法以及二次函数的应用．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合，（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）
2
2
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