第五篇 数列及其应用 专题5.03 等比数列及其前n项和
【考试要求】
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题； 3.体会等比数列与指数函数的关系. 【知识梳理】 1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. an
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
an－1
(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn1； 通项公式的推广：an＝amqnm.
a1（1－qn）a1－anq
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
1－q 1－q3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak， ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 【微点提醒】
?1?2}，??也是等比数列. 1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{an
a
?n?
－
－
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
a(1－an)
(3)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( )
1－a
n
1
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 【解析】 (1)在等比数列中，q≠0.
(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列. (3)当a＝1时，Sn＝na.
(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列. 【教材衍化】
1
2.(必修5P53A1(2)改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于( )
41A.－
2【答案】 D
a511
【解析】 由题意知q3＝＝，即q＝.
a282
3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________. 【答案】 27，81
【解析】 设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 【真题体验】
4.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为( ) A.2 【答案】 B
2，∴a2＝4(a－1)，即(a－2)2＝0，解得a＝2. 【解析】 根据等比数列的性质得a3a5＝a44444
B.－2 C.2
1
D. 2
B.4
9C. 2
D.6
又∵a1＝1，a1a7＝a24＝4，∴a7＝4.
5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于的频率为( ) A.2f 【答案】 D
【解析】 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为＝
123
12
2.若第一个单音的频率为f，则第八个单音
B.
3
22f C.
12
25f D.
12
27f
12
2的等比数列，设此数列为{an}，则a8
27f，即第八个单音的频率为
12
27f.
2
6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________. 【答案】 6
2（1－2n）【解析】 由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126，
1－2解得n＝6. 【考点聚焦】
考点一 等比数列基本量的运算
【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________. 763
(2)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
44【答案】 (1)－8 (2)32
【解析】 (1)由{an}为等比数列，设公比为q.
??a1＋a2＝－1，??a1＋a1q＝－1，①
由?得? ?a1－a3＝－3，??a1－a1q2＝－3，②?
显然q≠1，a1≠0，
②
得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1， ①
所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
(2)设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)， 1????a＝4，则?解得?
a（1－q）63??q＝2，S＝＝，?4?1－q
1
1
6
6
a1（1－q3）7S3＝＝，
41－q
1
所以a8＝a1q7＝×27＝32.
4
【规律方法】 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，a1(1－qn)a1－anq
{an}的前n项和Sn＝＝. 1－q1－q
【训练1】 (1)等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝( ) A.9
B.15
C.18
D.30
a2
(2)(2017·北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.
b2【答案】 (1)D (2)1
【解析】 (1)设数列{an}的公比为q(q>0)，
3
2??2S3＝2（a1＋a1q＋a1q）＝8a1＋3a1q，
则?3 ?a1q＝16，?
2（1－24）解得q＝2，a1＝2，所以S4＝＝30.
1－2
(2){an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}为等比数a22
列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，∴q＝－2，∴b2＝b1·q＝2，则＝＝1.
b22考点二 等比数列的判定与证明
【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31
(2)若S5＝，求λ.
32【答案】见解析 【解析】
1
(1)证明 由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a≠0.
1－λ1由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1， 得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan，
an＋1λ
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
anλ－11λ
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
1－λλ－11?λ?于是an＝
1－λ?λ－1?
n－1
.
n
λ
(2)解 由(1)得Sn＝1－?λ－1?.
??
λ?31λ?311??由S5＝，得1－λ－1＝，即λ－1＝.
32??32??32解得λ＝－1.
【规律方法】 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4. (1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tn. 【答案】见解析
4
5
5
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