《离散数学》题库及答案

（7） (U?V)→(M?N) 前提 （8） M?N (6),(7) （9）

M （8）

6、?B?D，(E→?F)→?D，?E=>?B 证明：

(1) B 附加前提 (2) ?B?D 前提 (3) D （1），（2） (4) (E→?F)→?D 前提 (5) ?(E→?F) （3），（4） (6) E

??F （5）

(7) E （6） (8) ?E 前提 (9) E

??E （7）

，（8） 7、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S) 证明：

（1） P 附加前提 （2） Q 附加前提 （3） P→(Q→R) 前提 （4） Q→R （1），（3） （5） R （2），（4） （6） R→(Q→S) 前提 （7） Q→S （5），（6） （8） S （2），（7） （9） Q→S CP，（2），（8） （10） P→(Q→S) CP，（1），（9）

8、P→?Q，?P→R，R→?S =>S→?Q 证明：

（1） S 附加前提 （2） R→?S 前提 （3） ?R （1），（2） （4） ?P→R 前提 （5） P （3），（4） （6） P→?Q 前提 （7） ?Q (5），（6） （8） S→?Q CP，（1），（7） 9、P→(Q→R) => (P→Q)→(P→R) 证明：

(1) P→Q 附加前提 (2) P 附加前提

13

(3) Q (1),(2) (4) P→(Q→R) 前提 (5) Q→R (2),(4) (6) R (3),(5) (7) P→R CP,(2),(6) (8) (P→Q) →(P→R) CP,(1),(7) 10、P→(?Q→?R)，Q→?P,S→R,P =>?S 证明：

（1） P 前提 （2） P→(?Q→?R) 前提 （3） ?Q→?R (1)，(2) （4） Q→?P 前提 （5） ?Q (1)，(4) （6） ?R (3),(5) （7） S→R 前提 （8） ?S (6)，(7) 11、A，A→B， A→C， B→(D→?C) => ?D 证明：

（1） A 前提 （2） A→B 前提 （3） B (1)，(2) （4） A→C 前提 （5） C (1)，(4) （6） B→(D→?C) 前提 （7） D→?C (3)，(6) （8） ?D (5)，(7)

12、A→(C?B)，B→?A，D→?C => A→?D 证明：

（1） A 附加前提 (2) A→(C?B) 前提

(3) C?B （1），（2）

(4) B→?A 前提 (5) ?B （1），（4） (6) C （3），（5） (7) D→?C 前提 (8) ?D （6），（7） (9) A→?D CP，（1），（8）13、(P?Q)?(R?Q) ?（P?R）?Q 证明、

(P?Q)?(R?Q)

14

?(?P?Q)?(?R?Q) ?(?P??R)?Q

??（P?R）?Q

?(P?R)?Q

14、P?(Q?P)??P?(P??Q)

证明、

P?(Q?P)

??P?(?Q?P)

??(?P)?(?P??Q) ??P?(P??Q)

15、（P?Q）?（P?R），?(Q?R)，S?P?S 证明、

(1) （P?Q）?（P?R） 前提

（2） P? (Q?R) (1) （3） ?(Q?R) 前提 （4） ?P （2），(3) (5) S?P 前提 (6) S (4),(5) 16、P??Q，Q?证明、

(1) P 附加前提

（2） P??Q 前提 （3） ?Q （1），（2） （4） Q??R，R??S? ?P

?R 前提

(5) ?R （3），（4） (6 ) R??S 前提 ?R （5），（7）

（7） R （6） （8） R?17、用真值表法证明Ｐ?Ｑ? (Ｐ?Ｑ)?(Ｑ?Ｐ) 证明、

列出两个公式的真值表：

P Q P?Q （P?Q）?（Q?P） F F F T T F T T T T F F F F T T 由定义可知，这两个公式是等价的。 18、P→Q?P→(P?Q)

15

证明：

设P→(P?Q)为F，则P为T，P?Q为F。所以P为T，Q为F ，从而P→Q也为F。所以P→Q?P→(P?Q)。 19、用先求主范式的方法证明(P→Q)?(P→R) ? (P→（Q?R） 证明：

先求出左右两个公式 的主合取范式

(P→Q)?(P→R) ?(?P?Q)?(?P?R)

?(?P?Q?(R??R)))?(?P?(Q??Q)?R)

(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R) ?

? (?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R) (P→（Q?R）) ?(?P?（Q?R）) ?(?P?Q)?(?P?R)

?(?P?Q?(R??R))?(?P?(Q??Q)?R)

(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R) ?

? (?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)

它们有一样的主合取范式，所以它们等价。 20、(P→Q)?证明：

设(P→Q)??(Q?R) ??P

?(Q?R)为T，则P→Q和?(Q?R)都为T。即P→Q和?Q??R都为T。故P→Q，?Q和?R)

?(Q?R) ??P

都为T，即P→Q为T，Q和R都为F。从而P也为F，即?P为T。从而(P→Q)?21、为庆祝九七香港回归祖国，四支足球队进行比赛，已知情况如下，问结论是否有效? 前提: (1) 若A队得第一，则B队或C队获亚军;

(2) (3) (4)

若C队获亚军，则A队不能获冠军; 若D队获亚军，则B队不能获亚军; A 队获第一;

结论: (5) D队不是亚军。 证明：

设A：A队得第一;B: B队获亚军;C: C队获亚军;D: D队获亚军;则前提符号化为A?（B?C），C??A，D??B，A；结论符号化为 ?D。

本题即证明 A?（B?C），C??A，D??B，A（1） A 前提 （2） A?（B?C）前提 （3） B?C （1），（2） （4） C??A 前提 （5）

??D

?C （1），（4）

（6） B （3），（5） （7） D??B 前提 （8） ?D （6），（7）

22、用推理规则证明P?Q, ?(Q?R),P?R不能同时为真。 证明：

16