定义新运算
教学目标
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨
一定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6
都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.
二定义新运算分类
1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合
例题精讲
模块一、直接运算型
【例 1】 若A*B表示?A?3B???A?B?，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
1-3-1.定义新运算.题库 教师版page 1 of 13
【解析】 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘
积。
由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312
【答案】312
【巩固】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4） 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）
÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】7
【巩固】 设a△b?a?a?2?b，那么，5△6?______，(5△2)△3?_____. 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
5△6?5?5?2?6?13 【解析】
5△2?5?5?2?2?21,1△3?21?21?6?435 【答案】435
【巩固】 P、Q表示数，P*Q表示
P?Q23?72，求3*(6*8)
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【解析】 3*(6*8)?3*(6?82)?3*7??5
【答案】5
【巩固】 已知a,b是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1,a?b?ab?2,那么
4??(6?8)?(3?5)??.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算 【解析】 原式?4?[(6?8?1)?(3?5?2)]?4?[13?13]?4?[13?13?1]?4?25?4?25?2?98 【答案】98
M?N表示(M?N)?2,(2008?2010)?2009?____ 【巩固】
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛 【解析】 原式????2008?2010??2??*2009?2009*2009??2009?2009??2?2009
【答案】2009
【巩固】 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，二试 【解析】 19 【答案】19 【例 2】 “△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2 ＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，二试 1-3-1.定义新运算.题库 教师版page 2 of 13 【解析】 1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8， 可得c=1,d=2 6△1000＝6×c＋1000×d=2006 【答案】2006 【巩固】 对于非零自然数a和b，规定符号?的含义是：a?b＝ m?a?b2?a?b （m是一个确定的整数）。如 果1?4＝2?3，那么3?4等于________。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，二试 m?1?4m?2?36?3?411??【解析】 根据1?4=2?3，得到，解出m=6。所以，3?4?。 2?1?42?2?32?3?412【答案】 【例 3】 对于任意的整数x与y定义新运算“△”：x?y=6?x?yx?2y1112 ,求2△9。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【关键词】北京市，迎春杯 【解析】 根据定义x?y=【答案】5 【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：x?y?1xy?1256?x?yx?2y于是有2?9?6?2?92?2?9?525 ?x?1??y?A?，已知 2?1?12?1?1?2?1??1?A?1?23，求1998?1999。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【解析】 根据题意得 ?2?1??1?A?11998?1999??23?12,1?2?1??1?A?1?16,?2?1??1?A??6,A?1，所以 1998?1999?3998?1?1998?1??1999?1??11998?1999?11999?2000?2000?19981998?1999?2000 ?【答案】 1998?1999?2000119980001998000 【例 4】 [A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算: ([18]?[22])?[7]=. 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算 【解析】 因为18?2?32有(1?1)?(2?1)?6个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2. 原式?(6?4)?2?5. 【答案】5 1-3-1.定义新运算.题库 教师版page 3 of 13 【巩固】 x为正数, <<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是. 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算 【解析】 <19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0, 所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11. 【答案】11 【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=. 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算 【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42. 【答案】42 【例 5】 我们规定：符号?表示选择两数中较大数的运算，例如：5?3=3?5=5，符号△表示选择两数 ?(0.6?15中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算： 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算 ??(0.3?233499)?(0.625?)?(1162335)的结果是多少？ ?2.25)(0.6?15【解析】 135?38?24?1?1119312(0.3?)?(?2.25)?99634122334)?(0.625?23)2?531 【答案】 2 【巩固】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：（[7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算 【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30 【答案】30 【巩固】 我们规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数。则 ?10△8?6△5???11○13+15△20?= 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算 【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，决赛 【解析】 根据题目要求计算如下：【答案】56 【例 6】 如果规定a※b =13×a-b ÷8，那么17※24的最后结果是______。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试 【解析】 17※24=13×17-24÷8=221-3=218 【答案】218 1-3-1.定义新运算.题库 教师版page 4 of 13 ?10△8?6○5???11○13+15△20?=?8?6???13?15?=2?28=56
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