一元二次方程
专题一：一元二次方程解法例析 知识点：
1、一元二次方程：①定义；②、一般形式：ax2+bx+c=(a 0)，会求一般形式下的二次项系数 ，一次项系数及常数项；注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。
2、一元二次方程的四种解法：①、直接开平方法；②、配方法；③、公式法；④、因式分解法；
注：、配方之前要把常数项移到等号的右边，然后再把二次项的系数化为1，然后配方。
配方时，方程两边同时加 ； 用公式法解时：（用公式法解时要先把一元二次方程化为一般形式。）
①当△>0时，一元二次方程有 的实数根；
x? ；
②当△=0时，一元二次方程有 的实数根；
x1?x2? ；
③当△<0时，一元二次方程 实数根；
因式分解前:一元二次方程的等号的右边要化为 。（注意十字相乘法） 3、了解：①、换元法解特殊的（具有“倒数”和“平方”等特殊结构形式）的一元二次方程；②、可以化为一元二次方程的分式方程的解法和和步骤；③、绝对值方程的解法。
4、会利用方程的根进行整体代入求某些代数式的值； 例题解析及课堂练习：
例1、k为何值时，关于x的方程(k+1)xk2+1+(k-1)x-2=0是一元二次方程，并指出二
次项系数 ，一次项系数及常数项.
练习：写出方程(1-3x)(x+3)=2x2+1二次项系数 ，一次项系数及常数项；
1
例2、用配方法解：2x2-4x+1=0
练习：1、①、x2-4x+5=(x-)2+；②、2a2-3a+1=2(a-)2-；
2、用配方法解：①、x2-4x-9996=0；②、3x2+9x-2=0。
例3、解方程：⑴、6(x-1)+9(x-1)-15=0；⑵、(m+3)-4(m+3)+3=0 练习：1、(2x-5)-4(2x-5)+3=0；2、(m2-4)-6(m2-4)+5=0
2222
5x33?x??6=0；5、x2?2x?1?1?0。 3、-=2；4、???x?1xx+1?x?1?
3a例4、已知a是方程x2?3x?1?0的根，则2a2?6a?；2. ?a?1
?31练习：已知：?是方程3?2?6??2?0的根，则?2???；6??3?2?2
2??。
课堂选练：
一、填空：
1、若方程ax2?4x?3?0的一根为1，则a= ,另一根是 。
?3、已知：?x??y?1?4、用换元法解?x?1?2、已知：x2?2x?32220?x2?3x?3，则x= 。 ?4，则x2?y2= 。
?2x2?1?0，设x2?1?y，则原方程变形成y的形式
22为： 。
2
5、方程?m?2?xm?m?1??4?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，则m= 。 9?6、已知?是方程2x2?3x?1?0的根，则6??4?2?2010= ，2= ，
6??32a?1= 。 a二、解下列方程：
1、2x2?6x?1?0（用配方法）； 2、2x?x?3??5?x?3?；
3、4?2y?5??9?3y?1?； 4、x2?3x?3x2?3x?4?0；
a?2?a?28a??x?2??x?2???2?0三、已知a是方程?的根，???????的值？ a?1?a?2a2?4??x?1??x?1?222??2??
四、已知c为实数，并且x2?3x?c?0的一个根的相反数是方程x2?3x?c?0的一个根，求x2?3x?c?0的根和c的值？
五、已知方程5x? mx?6=0的一个根为x=3,求它的另一个根及m的值。
2
专题二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系部分
知识点：
1、一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的根的情况是判别式△=b-4ac由判定： ①当△>0时，一元二次方程有 的实数根；
2x? ；
3
②当△=0时，一元二次方程有 的实数根；
x1?x2? ；
③当△<0时，一元二次方程 实数根；
掌握一元二次方程的根的判别式的应用常见的类型：①、判定根的情况；②、进行相关的证明；③、根据根的情况来确定字母的取值（范围）。
2.韦达定理：
如果ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2，那么x1?x2? ，x1x2? 。
解一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的根与系数关系定理（韦达定理）的应用常见的类型：
①.判定根的情况（注意含字母系数的一元二次方程）； ②.已知一根，求另一根和待定字母的值；
③.已知两根写出方程〔关于x的一元二次方程若30，设两根为x1,x2，则
x2-(x1+x2)x+x1?x2； 0〕
④.求“嵌入”了两根为结构的代数式的值〔注意各种变形，如：
x12+x22=(x1+x2)-2x1x2，x1-x2=22； (x1+x2)-4x1x2 等〕
⑤.进行相关的证明；
⑥．根据两根的某种特殊关系求待定字母的值〔在一元二次方程
ax2?bx?c?0?a?0?有根的情况下若：两根互为相反数，则b=0;两根互为倒数，
则a=c〕.
例题解析：
例1、不解方程判定关于x下列方程根的情况：
⑴ .16x2+9=24x；⑵.x2-2kx+4(k-1)=0；⑶.2x2+(m+5)x+(m+2)=0。
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