4. 过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH 。可得 PQ=
EG + FH 。
2
由△EGA ≌△AIC ，可得 EG=AI ，由△BFH ≌△CBI ，可得 FH=BI 。
从而可得 PQ=
AI + BI =
2
AB
，从而得证。
2
经 典 难 题（三）
1. 顺时针旋转△ ADE ，到△ABG ，连接 CG. 由于∠ABG= ∠ADE=90 +45 =135
从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得△ AGB ≌△CGB 。 推出 AE=AG=AC=GC ，可得△AGC 为等边三角形。 ∠AGB=30 ，既得∠EAC=30 ，从而可得∠ A EC=75 。
0
0
0
0
0
0
又∠EFC= ∠DFA=45 0+30 0=75 0 . 可证： CE=CF 。
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2. 连接 BD 作 CH ⊥DE ，可得四边形 CGDH 是正方形。 由 AC=CE=2GC=2CH ，
可得∠CEH=30 ，所以∠CAE= ∠CEA= ∠AED=15 ，
0
0
又∠FAE=90 +45 +15 =150 ，
0000
从而可知道∠ F=15 0 ，从而得出 AE=AF 。
3. 作 FG⊥CD ， FE⊥BE，可以得出 GFEC 为正方形。
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令 AB=Y ， BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。
X
tan ∠BAP=tan ∠EPF= =
Y
Z
，可得 YZ=XY-X
2+XZ ，
Y - X + Z
即 Z(Y-X)=X(Y-X)，既得 X=Z ，得出△ABP ≌△PEF ， 得到 PA ＝PF ，得证 。
经 典 难 题（四）
1.
顺时针旋转△ ABP 60 0 ，连接 PQ ，则△PBQ 是正三角形。 可得△PQC 是直角三角形。
所以∠APB=150
0
。
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2. 作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AE ∥DC ，BE∥ PC.
可以得出∠ ABP= ∠ADP= ∠AEP ，可得：
AEBP 共圆（一边所对两角相等） 。 可得∠BAP= ∠BEP= ∠BCP ，得证。
3. 在 BD 取一点 E，使∠BCE= ∠ACD ，既得△BEC∽△ADC ，可得：
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BE AD BC AC
=
，即 AD ·BC=BE ·AC ，
①
又∠ACB= ∠DCE ，可得△ABC ∽△DEC ，既得 ABDE
= ，即 AB ·CD=DE ·AC ， ②
AC
DC
由① + ②可得 : AB ·CD+AD ·BC=AC(BE+DE)= AC ·BD ，得
证。
SSY ABCD4. 过 D 作 AQ ⊥ AE ， AG ⊥ CF ，由 V ADE = = SVDFC ，可得：
AEgPQ = AEgPQ ，由 AE=FC 。
2
2 2
可得 DQ=DG ，可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理） 。
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