,.
先根据直线与椭圆联立的方程13x?723x?36?8?0求出方程的两根x1，x2，它们分别是
2A，B的横坐标．
再根据焦半径从而求出
AF1?a?ex1，BF1?a?ex2，
AB?AF1?BF1．
三、轨迹方程相关题目
0?，且在定圆B：例6、 已知动圆P过定点A??3，x?3??2?y2?64的内部与其相内切，求动
圆圆心P的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，
0?距离之和恰好等于定圆半径， 0?和定圆圆心B?3，即定点A??3，即
PA?PB?PM?PB?BM?8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，
22x2y2??1． 半长轴为4，半短轴长为b?4?3?7的椭圆的方程：
167x2?y2?1， 例7、 已知椭圆2（1）求过点P??11?，?且被P平分的弦所在直线的方程； ?22?（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
1?引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （3）过A?2，（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP?kOQ1??，
2,.
求线段PQ中点M的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为M?x1，y1?，N?x2，y2?，线段MN的中点R?x，y?，则
（1）将x?11y?y21，y?代入⑤，得1??， 22x1?x22（2）故所求直线方程为： 2x?4y?3?0． ⑥ 将⑥代入椭圆方程x?2y?2得6y222?6y?1?0， 4??36?4?6?（2）将
1?0符合题意，2x?4y?3?0为所求． 4y1?y2（椭圆内部分） ?2代入⑤得所求轨迹方程为：x?4y?0．
x1?x2y1?y2y?1代入⑤ ?x1?x2x?222（3）将
得所求轨迹方程为： x?2y?2x?2y?0．（椭圆内部分）
2x12?x22?y12?y2?2， ⑦， （4）由①＋②得：
2??将③④平方并整理得
2x12?x2?4x2?2x1x2， ⑧，
,.
2y12?y2?4y2?2y1y2， ⑨
4x2?2x1x2?4y2?2y1y2?2， ⑩ 将⑧⑨代入⑦得：
4再将
??1y1y2??x1x2代入⑩式得：
22 2x?x1x2?4y?2??2?1?x1x2??2， ?2?y2?1． 即 x?122例8、 知圆x2?y2?1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹． 解：4x2?y2?1．
说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，具体做法：首先设动点的坐标为(x,y)， 设已知轨迹上的点的坐标为(x0,y0)，然后根据题目要求，使x，y与x0，y0建立等式关系，
从而由这些等式关系求出x0和
y0代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程，
化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．
x2y2??1所截得的线段的中点，求直线l的方程． 例9、 已知P(4,2)是直线l被椭圆
369分析：“设而不求”法
解：方法一：设所求直线方程为y?2?k(x?4)．代入椭圆方程， 整理 (4k?1)x?8k(4k?2)x?4(4k?2)?36?0 ①
222 设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是①的两根， ∴x1?x2?8k(4k?2) 24k?1∵P(4,2)为AB中点， ∴4?1x1?x24k(4k?2)k???，．
224k2?1∴所求直线方程为x?2y?8?0．
,.
方法二：（点差法）设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)． ∵P(4,2)为AB中点，∴x1?x2?8，y1?y2?4． 又∵A，B在椭圆上，∴x122222?4y1?36，x2?4y2?36两式相减得
222(x1?x2)?4(y1?y2)?0，
即(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?∴
y2)(y1?y2)?0．
y1?y2?(x1?x2)1???．
x1?x24(y1?y2)2∴直线方程为x?2y?8?0．
方法三：（数形结合）设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，另一个交点B(8?x,4?y)． ∵A、B在椭圆上，∴x?4y?36 ①。
22 (8?x)?4(4?y)?36 ②
22从而A，B在方程①－②的图形x?2y?8?0上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为x?2y?8?0．
说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 四、探索问题及其他
x2y2?1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y?4x?m，椭例10、 已知椭圆C：?43圆C上有不同的两点关于该直线对称． 分析：若设椭圆上
A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB?l；(2)弦AB的中点M在l上．
利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围．
解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，B(x2,y2)两点关于直线l对称，
,.
直线AB与l交于M(x0,y0)点． ∵l的斜率kl?4， ∴设直线AB的方程为
1y??x?n．
41?y??x?n,??4由方程组消去y得 ?22?x?y?1,?3?413x2?8nx?16n2?48?0 ①。
8n． 13x?x24n112n?于是x0?1，y0??x0?n?， 2134134n12n,)． 即点M的坐标为(1313∴x1?x2?∵点M在直线y?4x?m上，
4n?m． 1313m． ② 解得n??4∴n?4?将式②代入式①得13x2?26mx?169m2?48?0 ③
∵A，B是椭圆上的两点，
∴??(26m)?4?13(169m?48)?0．
22解得?213213． ?m?1313(法2)同解法1得出n??13413m，∴x0?(?m)??m， 4134113113y0??x0?m???(?m)?m??3m，即M点坐标为(?m,?3m)．
4444∵A，B为椭圆上的两点， ∴M点在椭圆的内部，
(?m)2(?3m)2??1． ∴
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